Medida sobre las intersecciones de las uniones

Question

Dejemos que $(X,\mathcal{A},)$ un espacio medible y que $A_1,A_2,...\mathcal{A}$ , supongamos que $\sum\limits_{j=1}^{\infty}=\mu (A_j)<\infty$

Tenemos $E=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}(A_k)$

Quiero demostrar que $\mu(E)=0$

lo que he hecho hasta ahora es que para un elemento x en E, tenemos

$x\in A_k$ para al menos una $k\ge n$ pero para todos $n$ por lo que x debe estar en $A_k$ para infinitos k's.

No estoy seguro de si eso es correcto, o de dónde puedo ir a partir de aquí.

Answer 1

Utiliza la monotonicidad: $\mu(E) \le \displaystyle \mu\left(\bigcup_{k=n}^\infty A_k\right)$ para todos $n \ge 1$ .

Utiliza la subaditividad: $\displaystyle \mu\left(\bigcup_{k=n}^\infty A_k\right) \le \sum_{k=n}^\infty \mu(A_k)$ .

Concluya: $\displaystyle \mu(E) \le \sum_{k=n}^\infty \mu(A_k)$ para todos $n \ge 1$ .

Lo que sucede como $n \to \infty$ ?