Algunas series de Taylor, por ejemplo: $1+x-x^2-x^3+....$ no tienen ceros (reales). Sin embargo, haga lo mismo para $x-x^{3}/3!+x^{5}/5!-...$ y se obtienen infinitos ceros (reales)
¿Existe una forma de averiguar qué series tendrán ceros y cuáles no, y para las que los tengan, hay una forma de predecir el mayor número de dichos ceros?
Cualquier ayuda/sugerencia será bienvenida.
Para funciones suaves $f$ Los derivados en un solo punto no dicen mucho:
Cualquier posibilidad permitida por estas condiciones puede construirse utilizando funciones de choque.
Si tiene límites en los derivados sobre toda la gama, se podría decir más - hay varias preguntas como esta en este sitio.
Una función es real-analítica si la serie de Taylor converge en todas partes al valor de $f.$ Entonces hay una respuesta tautológica: la función está determinada por la serie de Taylor, por lo que los ceros están determinados por la serie de Taylor. Incluso sin mirar la serie de Taylor, la Teorema de factorización de Weierstrass dice que un conjunto es el conjunto cero de una función analítica no constante si y sólo si todos sus puntos están aislados.
Una condición suficiente para tener un número finito de ceros es que la función sea analítica y una serie de Taylor satisfaga una recurrencia lineal. Esto implica que la función es racional . Esta no es una condición necesaria, por ejemplo $f(z)=\exp(z).$
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