Serie de logaritmos: Manipulación de símbolos Prueba de que $\log(x) + \log(y) = \log (xy)$

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo con 1. Defina una serie de potencias formal $$\log(x)=\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1}\frac{(x-1)^m}{m}.$$ Me gustaría demostrar usando sólo manipulaciones de la serie de potencias (pretendiendo que no sabemos nada de exp) que para conmutar $x$ , $y$ tenemos $\log(xy)=\log(x)+\log(y)$ .

(1) Para la cordura, esto es cierto, ¿no?

(2) Suponiendo que sea cierto, ¿es una prueba de manipulación de símbolos razonablemente manejable? Si es así, ¿tendría alguien la amabilidad de reproducirla aquí?

Gracias.

Answer 1

Esto puede hacerse formalmente. Para los detalles, y más, hay una buena referencia clásica sobre las series de potencia formales:

Ivan Niven. Series de Poder Formal . The American Mathematical Monthly, 76 (8) , (1969), 871-889.

Así es como procede Niven:

Verificamos que $\log(1+t)+\log(1+s)=\log(1+(t+s+ts))$ .

Para ello, dejemos que $D$ sea el operador formal de la derivada, por lo que $D(a+bx+cx^2+\dots)=b+2cx+\dots$ y tenemos $D(f^n)=nf^{n-1}D(f)$ y $D(fg)=fD(g)+gD(f)$ para los desplazamientos $f,g$ etc., y $D(c)=0$ si $c$ es un escalar (una "constante").

Utilizando $D$ , se muestra mediante la manipulación directa de las series:

1. $D(\log(1+t))=(1+t)^{-1}D(t)$ .
2. $D(\log((1+t)(1+s)))=D(\log(1+t))+D(\log(1+s))$ .

Y, a partir de ellos, se obtiene el resultado.

Answer 2

Utilice la diferenciación formal para demostrar que $$ \frac{d}{dx}\log (xy)=\frac{d}{dx}\log x. $$ Son cálculos fáciles que implican series de Neumann, siempre que tengan sentido. Lo cual es cierto en tu caso, creo, ya que tratas con un subgrupo de $GL_n(\mathbb{R})$ .

Esto demuestra que el $x$ serie de potencia $\log(xy)$ y $\log x$ son iguales módulo una constante. Entonces $y=1$ da lugar a la constante.