Convergencia de una serie de potencias en un punto

Question

Supongamos una serie de potencias $\sum a_n z^n$ con $a_n,z \in \mathbb{C}$ converge para algún punto único $z_0$ en el plano complejo.

¿Podemos decir entonces que converge en cualquier disco de radio $r\leq |z_0|$ ? Creo que sí ya que la serie de potencias tiene un radio de convergencia, digamos $R$ donde la serie converge para $|z|<R$ y diverge para $|z|>R$ . Por lo tanto, dado que la serie converge en un único punto, R debe ser "suficientemente grande" para incluir este punto.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Se puede afirmar que converge en un disco con $r<|z_0|$ . No son iguales. Por ejemplo, $\sum \frac{1}{n}z^n$ converge para todo $z\in \{z:|z|\leq 1\}-\{1\}$ pero con $z=1$ diverge.

Entonces, si $z_0=i$ no tienen convergencia en el disco con $r=1$