Prueba del principio de multiplicación

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente;

Si $X$ y $Y$ son finitos, entonces $|X \times Y| = |X||Y|$ .

Ahora, definiré una biyección $g:\mathbb{N_{n}} \rightarrow X$ y una biyección $f: \mathbb{N_{m}} \rightarrow Y$ por lo que las respectivas cardinalidades de $X$ y $Y$ son $n$ y $m$ . Así que ahora trato de probar $|X \times Y| = nm$ .

Estoy pensando en definir $|X \times Y|$ como la unión de $(x_k \times Y)$ y luego afirmar que hay $m$ pares ordenados para un solo $x_k$ , y de forma similar $n$ pares ordenados para un solo $y_k$ y así $nm$ pares ordenados en total, pero esto difícilmente constituye una prueba por lo que estoy buscando alguna ayuda sobre cómo demostrarlo adecuadamente, gracias.

Answer 1

Basta con establecer una biyección $\mathbb{N_{n}} \times \mathbb{N_{m}} \to \mathbb{N_{nm}}$ .

El mapa $(i,j) \mapsto (i-1)m+j$ es una biyección de este tipo.