Buenas maneras de probar $n$ variables aleatorias idénticas y dependientes

Question

Me pregunto si hay una buena forma de hablar del muestreo de variables aleatorias idénticas pero dependientes en la que también sea fácil ver cómo evoluciona la distribución a medida que pasamos de $n$ variables aleatorias a $n+1$ .

Me gustaría empezar con la distribución binomial. Para $n$ variables que son 0 o 1, es muy fácil ver cómo cambia la probabilidad de un evento como "todos los ceros" a medida que añadimos otro ensayo de bernouli si son independientes. Con los ensayos de bernouli dependientes, no hay una manera obvia de hacer esto porque hay mucha libertad en cómo las variables aleatorias pueden ser dependientes. Lo que estoy buscando es una o dos maneras de hacer esto con sentido. No hay nada que me llame la atención, así que me gustaría recibir sugerencias.

He pensado en dejar que los resultados de bernouli sean determinados por un proceso de Markov subyacente, donde podría haber dos o más estados y una visita a un determinado estado corresponde a un resultado de bernouli de 0 o 1. ¿Hay otras maneras de hacer esto donde puedo resolver los cambios en la distribución dado un cambio en $n$ ?

Answer 1

Sé que querías empezar con el binomio, pero quizás un ejemplo más sencillo te ayude en tu planteamiento. Considere $n$ variables aleatorias uniformes que suman 1. Si $n=2,$ podemos generar $X \sim U[0,1]$ y $Y = 1-X.$ Entonces $X$ y $Y$ se distribuyen de forma idéntica.

Ahora dejemos que $n=3.$ Generar $X \sim \mathrm{Unif} [0,{2 \over 3}].$ Dejemos que $$Y = \begin{cases} X+{1/3} \ , & \text{if} \ X \le {1/3} \\ X-{1/3} \ , & \text{if} \ {1/3} \lt X \le {2/3} \end{cases}$$ Dejemos que $Z = 1 - X - Y.$ De nuevo $X, Y,$ y $Z$ se distribuyen de forma idéntica.

Para $n=5,$ ver mi respuesta aquí: ¿Cómo generar eficazmente cinco números que sumen uno?

Para $n=6,$ ver la más larga de mis respuestas aquí: Cómo generar eficientemente un conjunto de números uniformemente distribuidos que sumen $n$ .

Puedes hacer un método similar para $n=2$ para un binomio generando $X$ como binomio (digamos con $n$ ensayos y utilizando el parámetro de éxito $p={1 \over 2}$ ), y luego dejar que $Y=n-X.$ Pero no creo que se pueda generalizar la probabilidad de éxito a otros valores que no sean $1 \over 2$ o perderás la simetría. Parece muy limitado para el binomio.

Una versión que utiliza pares de variables aleatorias (para cuando $n$ es uniforme) se puede ver en el más corto de mis respuestas a esta pregunta: Cómo generar eficientemente un conjunto de números uniformemente distribuidos que sumen $n$ .

Creo que eso podría funcionar para ti incluso para $n$ y $p={1 \over 2}.$