¿Cómo puedo demostrar que esta frase es cierta?

Question

Dejemos que $f\colon \Bbb R\Bbb R$ sea continua y diferenciable en cada punto $x\Bbb R\{c\}$ para algunos $c\Bbb R$ .

Si $\lim_{x\to c}f'(x)$ existe, entonces $f$ es diferenciable en $x=c$ con $f'(c)=\lim_{x\to c}f'(x)$ .

Quiero saber cómo demostrar que la frase anterior es verdadera.

Answer 1

Por el teorema del valor medio, para todo $x \neq c$ existe $a_x \in (x,c)$ tal que

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c} = f^\prime(a_x)$$ por lo tanto, si se denota $\lim\limits_{x \to c} f^\prime(x) =C$ puede demostrar que $$\lim\limits_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} = C$$ con un $\epsilon$ - $\delta$ prueba. Eso permite llegar a la conclusión de que $f^\prime(c)=C$ .