Límite para la diferencia de la forma cuadrática

Question

Supongamos que $A$ es un $n\times n$ matriz definida positiva, y que $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ definirse como $f(x) = x^TAx$ .

Entonces supongamos que sabemos que para dos vectores $x$ y $y$ tenemos $|x_i-y_i| \leq r$ y $0 \leq x_i,y_i \leq 1$ para todos $i \in \{1,2,\ldots,n\}$ entonces podemos acotar |f(x)-f(y)| en términos de $r$ ?

Answer 1

Algunas pistas: Deja que $A=P'DP$ donde D es diagonal. (Se necesita más trabajo para el caso en que la descomposición no sea posible).

Entonces $f(x)=x'P'DPx = x'Dx$ donde $\bar{x}=Px$

$$f(x)-f(y)=\bar{x}'D\bar{x}-\bar{y}'D\bar{y}=(\bar{x}+\bar{y})'D(\bar{x}-\bar{y})\leftarrow \mbox{here is where the decomposition is useful}\\ =\overline{(x+y)}'D\overline{(x-y)}=(x+y)'A(x-y)$$

Desde $\forall i, |x_i-y_i| \leq r$ y $|x_i+y_i| \leq 2$ , $$|f(x)-f(y)|=|(x+y)'A(x-y)|\leq 2r \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$$