Dejemos que $f$ sea diferenciable en $\Bbb R$ con $1\le f'(x)\le2 \forall x \in \Bbb R$ y $f(0)=0$ . Demostrar que $x\le f(x)\le2x \;\;\;\forall x\ge0$

Question

Realmente no sé cómo empezar. Pero no estoy seguro de si puedo utilizar MVT para demostrar este problema. En el punto, no sé cómo suponer f(x) podría u pls ayuda ToT

Answer 1

Aplicar el teorema del valor medio a los dos puntos $x\not =0$ y $0$ para ver que $$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c)$$ para algún tipo de $c$ . Mientras que $1\le f'(c)\le 2$ tenemos $1\le \frac{f(x)}{x}\le 2$ . Para $x=0$ El resultado es obvio.