¿Cuántas matrículas diferentes de 7 posiciones son posibles cuando 3 de las entradas son letras y 4 son dígitos?

Question

¿Puede alguien explicar por qué no contamos los arreglos de $7$ (dígitos y letras) como $7!$ ? A mi entender, será $7!\cdot 26^3 \cdot 10^4$ Sé que está mal y la solución nos dice $35$ posibles arreglos de cartas y no $7!$ pero no puedo entender por qué.

Answer 1

Supongamos que la matrícula tiene las 3 letras de la izquierda seguidas, y las cuatro de la derecha seguidas, así:

$$\mathrm{AAA}1234$$

Tenemos 26 letras posibles para elegir, y hacemos esta elección tres veces. Así que esto nos da $26^3$ posibles combinaciones de letras. A continuación, tenemos 10 números de un solo dígito para elegir, y hacemos esta elección 4 veces. Esto nos da $10^4$ posibles combinaciones de números. Al multiplicarlas obtenemos $26^{3}\times 10^4$ posibles placas.

Por otro lado, si no hay ninguna restricción en la colocación de letras y números, podríamos tener algo así: $$\mathrm{A1A2A34B}$$ Pero todavía podemos tener sólo 3 letras y 4 números.

Así que, para empezar, decidamos dónde poner nuestras tres letras. Tenemos que elegir 3 lugares de 7, por lo que es $7 \choose 3$ posibilidades. Ahora que hemos decidido dónde colocar nuestras tres letras, los otros cuatro lugares deben ser números. En este punto hemos vuelto a nuestro problema original en el que conocemos las posiciones de las letras y los números. Así que la respuesta final debería ser $${7 \choose3} \times 26^3 \times 10^4$$

No estoy seguro de dónde está el $7!$ viene en tu solución, pero si añades una explicación de cómo se te ocurrió, me aseguraré de explicar por qué no funciona.