Yo estaba jugando con Mathematica y encontró que
$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{\cosh(\pi n)} = \frac12\left(\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma \left(\tfrac34\right)^2}-1\right)$$
¿Alguien sabe cómo comprobarlo manualmente?
Respuestas
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He aquí un breve boceto de lo que podría ampliar más adelante.
Considerar el equivalente de Lambert de la serie
$$2\sum_{k=1}^\infty \frac{q^k}{1+q^{2k}}$$
con $q=\exp(-\pi)$.
Esta suma, a través del uso adecuado serie geométrica, también puede ser expresado como
$$2\sum_{j=0}^\infty (-1)^j\frac{q^{2j+1}}{1-q^{2j+1}}$$
Esta suma puede ser expresada en términos de la Jacobi theta función de $\vartheta_3(0,q)$. Utilizando la fórmula 57 anteriormente en el enlace, tenemos la expresión
$$\frac{\vartheta_3(0,q)^2-1}{2}\tag{1}$$
Fórmula 45 en el mismo enlace da la relación
$$\vartheta_3(0,\exp(-\pi))=\frac{\sqrt[4]\pi}{\Gamma(3/4)}\tag{2}$$
Sustituyendo $(2)$ a $(1)$ da la identidad en la OP.
Si usted está interesado en hiperbólico sumas como estos, usted va a querer ver estos tres papeles.
Meltemi
Puntos
1730
Esto no es obvio. En primer lugar, consulte la página de MathWorld en Secante hiperbólica.
Allí usted verá que esta identidad es debido a Ramanujan.
Es decir, se desprende la Ramanujan cos / cosh identidad.
Para probar este manual, a continuación, puedes leer cómo se establece esta última identidad.
