Resolviendo esta exponencial

Question

Estoy tratando de resolver

$$ e^\lambda (1-\lambda^2) = 1$$

Sé que tiene una solución en $\lambda = 0$ . ¿Cómo puedo obtener la segunda solución? Wolfram Alpha da algo alrededor de 0,71, pero no muestra una expresión. ¿Puedo obtenerlo sólo numéricamente?

Answer 1

Esta es una forma de atacar el problema:

Reacomodar $e^{\lambda} \left (1- \lambda ^2 \right )=1$ como $1- \lambda^2 =e^{-\lambda}$ .

A continuación, utilice la expresión de la serie para $e^{-\lambda}$ :

$1- \lambda^2 =1-\lambda+\frac {\lambda ^2}2 -\frac {\lambda ^3}6 + \frac {\lambda ^4}{4!}+...$

A continuación, puedes decidir hasta cuántos términos quieres llevarlo y resolver el polinomio resultante para obtener una aproximación a $\lambda$

Ejemplo 1 (tres términos):

$1- \lambda^2 \approx 1-\lambda+\frac {\lambda ^2}2$ produce $\frac {3\lambda ^2}2-\lambda=0 \Rightarrow \lambda = \frac 23$

Ejemplo 2 (cuatro términos):

$1- \lambda^2 \approx 1-\lambda+\frac {\lambda ^2}2-\frac {\lambda ^3}6$ produce $\frac {\lambda ^3}6 - \frac {3\lambda ^2}2+\lambda=0$

$\Rightarrow \lambda ^3 - 9 \lambda ^2+6 \lambda=0$

$\Rightarrow \lambda ^2 - 9 \lambda+6 =0$ o $\lambda=0$

$\Rightarrow \lambda = \frac {9 + \sqrt {57}}2 $ o $\lambda = \frac {9 - \sqrt {57}}2 $ o $\lambda=0$

$\lambda = \frac {9 + \sqrt {57}}2 $ no convergería suficientemente en sólo cuatro términos.

Utilizando $\lambda = \frac {9 - \sqrt {57}}2 $ da $\lambda \approx 0.725$ - puedes ver que nos acercamos a la estimación que dio Wolfram.