¿Cómo probar que $ \sum_{n \in \mathbb{N} } | \frac{\sin( n)}{n} | $ diverge?

Question

Se afirma como un problema en cálculo de Spivak y yo no puedo envolver mi cabeza alrededor de él.

Answer 1

Indirecta: $|\sin n|\geqslant \sin^2 n$ y el uso de la convergencia de $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(\color{red}2n)}n$ y la divergencia del serie armónica.

Tenemos $\cos(2n)=2\cos^2n-1$ y $$\sin^2n=1-\cos^2n=1-\frac{\cos(2n)+1}2=\frac{1-\cos(2n)}2.$ $

Answer 2

La idea en su comentario nos lleva a un enfoque:

Para cada entero positivo $k$, el intervalo de $\bigl[k\pi+{\pi\over 6}, (k+1)\pi-{\pi\over 6}\bigr]$ tiene longitud superior al $1$ y por lo tanto contiene un entero $n_k$. Entonces tenemos ${|\sin (n_k)|\over n_k} \ge {\sin({\pi\over 6})\over (k+1)\pi}$. Así, de la prueba de comparación, se deduce que $\sum\limits_{k=1}^\infty {|\sin(n_k)|\over n_k}$ diverge; donde $\sum\limits_{n=1}^\infty {|\sin(n )|\over n}$ diverge (por la comparación la prueba otra vez).