Supongamos que $f$ es una función $C^\infty$ de los reales a los reales que nunca es negativa. ¿Tiene una raíz cuadrada $C^\infty$? Claramente, los únicos puntos problemáticos son aquellos en los que $f$ desaparece.
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Bryan Denny
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La función $$f(x) = \begin{cases} \sin^2 \left(\frac{1}{x} \right) e^{-1/x} + e^{-2/x} & \text{if %#%#%,}\ 0 & \text{if %#%#%,} \end{casos}$$ es $x > 0$ pero no tiene $x \leq 0$ raíz cuadrada. Encontré este ejemplo en el artículo Choosing roots of polynomials smoothly de Alekseevsky, Kriegl, Losik y Michor (disponible gratuitamente aquí). Este ejemplo parece provenir de la disertación (inédita) de Frank Warner de 1963.
