Estoy trabajando en el siguiente problema:
Dejemos que $S^1 := \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ y supongamos $p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_kx^k$ es un polinomio tal que para todo $n \in \mathbb{Z}$ tenemos $p(in) \not= 0$ . Definir el operador $P : C^{\infty}(S^1) \rightarrow C^{\infty}(S^1)$ por $Pu := p(\partial /\partial x)u$ . Demuestre que para todo $f \in C^{\infty}(S^1)$ existe una función $u \in C^{\infty}(S^1)$ tal que $Pu = f$ .
Lo que he hecho es lo siguiente. Supongamos que tal $u$ existe. Entonces $(Pu)^{\widehat{}} = \widehat{f}$ . Y podemos calcular, mediante la transformada de Fourier, que $(Pu)^{\widehat{}}(n) = p(in)\widehat{u}(n)$ . Así que $\widehat{u}(n) = \frac{\widehat{f}(n)}{p(in)}$ (recordar $p(in) \not= 0$ ). Por lo tanto, suponiendo que exista $u \in C^{\infty}(S^1)$ con $Pu = f$ tenemos, por inversión de Fourier, que $$ u(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}}\frac{\widehat{f}(n)}{p(in)}e^{inx} $$ Si ahora defino $u$ mediante esta fórmula, ¿cómo puedo demostrar que $u \in C^{\infty}(S^1)$ ? Mi opinión es la siguiente: ya que $p$ es un polinomio, tenemos que para cada $N > 0$ existe un número entero positivo $M_N$ tal que para todo $n \geq M_N$ tenemos $\lvert p(in) \rvert > N$ ya que el término de mayor potencia en $p$ dominará. Esto significa que $\left\lvert \frac{\widehat{f}(n)}{p(in)}e^{inx}\right\rvert < \frac{\lvert\widehat{f}(n)\rvert}{N}$ para todos $n \geq M_N$ . Desde $f$ es suave, su serie de Fourier es absolutamente convergente y, como se ve en este cálculo, el valor absoluto de sus coeficientes de Fourier domina los coeficientes correspondientes en la definición de la serie de $u$ . Por lo tanto, $u$ converge absolutamente a una función suave (donde la suavidad puede verificarse mediante la diferenciación término a término, que se permite debido a la convergencia absoluta -y por tanto uniforme-). ¿Cómo suena esto?
En general, estoy confundido acerca de la convergencia de las series relacionadas con Fourier con respecto a qué tipo de convergencia debería preocuparse por demostrar. ¿Deberían las propiedades que quiero que tenga la función limitadora (por ejemplo, bien definida en todas partes, continua, integrable, etc.) ser la motivación exacta para el tipo de convergencia que quiero (por ejemplo, puntual, uniforme, $L^1$ etc.)?
