En 1955 M.M. Day demostró:
Teorema (Día) Si $E$ es un espacio de Banach separable, entonces $E^{\ast}$ lleva una norma dual equivalente estrictamente convexa.
Véase el teorema 4 en M.M. Day, Convexidad estricta y suavidad de los espacios normados , Trans. Amer. Math. Soc. 78 (1955), 516-528.
Si $H$ es separable, el espacio $B(H)$ es el espacio dual del espacio separable de los operadores de la clase de traza (los operadores de rango finito son densos en los operadores de la clase de traza), por lo que el teorema de Day nos proporciona una respuesta positiva a su pregunta en el caso separable, y también para las álgebras de von Neumann separables (es decir, aquellas con pre-dual separable).
La pregunta sobre las álgebras de von Neumann tiene una respuesta negativa en general ( loc. cit. Corolario del teorema 8):
Teorema (Day, Phillips) Si $I$ es un conjunto incontable, entonces $\ell^{\infty}(I)$ no admite una norma equivalente estrictamente convexa.
Según los resultados del artículo de Day, esto también implica que $B(\ell^2(I))$ no se puede renormar a un espacio estrictamente convexo para $I$ incontable: por el punto (3) al final de la página 518 la propiedad de tener una renormación estrictamente convexa pasa a subespacios cerrados; como $\ell^{\infty}(I)$ se incrusta en $B(\ell^2(I))$ esto nos dice que sólo para espacios de Hilbert separables $H$ su pregunta sobre $B(H)$ tiene una respuesta positiva.
No sé y no pensé realmente en lo que se puede decir sobre $B(E)$ pero permítanme mencionar el reciente preimpreso
José Orihuela, Richard J. Smith, Stanimir Troyanski, Normas estrictamente convexas y topología arXiv:1012.5595v1
donde encontrará una amplia discusión de resultados relacionados y muchas referencias a la literatura.
