¿Pueden dos fermiones con diferentes niveles de energía estar en la misma posición?

Question

Supongamos que tengo dos fermiones en un potencial de pozo cuadrado infinito, sin espín ni otros grados de libertad en $0 K$ temperatura. Dejemos que $L$ sea la anchura de ese pozo. He utilizado la función de onda de dos partículas en 1D para fermiones itenticos $$ \Psi_{nm}(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\Psi_n(x_1)\Psi_m(x_2)-\Psi_n(x_2)\Psi_m(x_1)\right], $$ donde $$ \Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\frac{n\pi x}{L}} $$ es la solución del SE para una sola partícula con nivel de energía $E(n)= \hbar^2\pi^2n^2/2mL^2$ dentro del pozo en la posición $x$ . De esto ya concluyo que $n\neq m$ . Con eso calculé la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en $x_1$ y el otro en $x_2$ con algunos niveles de energía $n$ y $m$ : $$ |\Psi_{nn}(x_1,x_2)|^2=\frac{1}{2}\left[|\Psi_n(x_1)|^2|\Psi_m(x_2)|^2-2\Psi_n(x_2)\Psi_m(x_1)\Psi_n(x_1)\Psi_m(x_2)+|\Psi_n(x_2)|^2|\Psi_m(x_1)|^2\right]. $$ Desde $\Psi_n(x_1)$ y $\Psi_m(x_1)$ son ortonormales el término medio es $0$ .

Digamos que una partícula se encuentra en $L/2$ cuál es la probabilidad de encontrar la segunda partícula en alguna posición $x_2$ especialmente lo que ocurre con la probabilidad, si nos acercamos a la partícula en $L/2$ . Lo he calculado así: $$ \left|\Psi_{n}\left(\frac{L}{2}\right)\right|^2=\frac{2}{L}\sin^2{\frac{n\pi}{2}} =\frac{2}{L}\left\{\begin{array}{@{}lr@{}} 1 & \text{for uneven }n\\ 0 & \text{for even }n \end{array}\right\}=\frac{1+(-1)^{n+1}}{L}. $$ Así que dentro del pozo, $$ \left|\Psi_{nm}\left(\frac{L}{2},x_2\right)\right|^2=\frac{1}{2}\left[\frac{1+(-1)^{n+1}}{L}\frac{2}{L}\sin^2{\frac{m\pi x_2}{L}}+\frac{1+(-1)^{m+1}}{L}\frac{2}{L}\sin^2{\frac{n\pi x_2}{L}}\right]= $$ $$ =\frac{1}{L^2}\left[(1+(-1)^{n+1})\sin^2{\frac{m\pi x_2}{L}}+(1+(-1)^{m+1})\sin^2{\frac{n\pi x_2}{L}}\right]. $$

Por último, si dejo que $x_2\rightarrow L/2$ Me sale $$ \lim_{x_2\rightarrow L/2}\left|\Psi_{nm}\left(\frac{L}{2},x_2\right)\right|^2=\frac{1}{L^2}\left[(1+(-1)^{n+1})(1+(-1)^{m+1})\right]= \left\{\begin{array}{@{}lr@{}} 4L^{-2} & \text{if n and m are uneven and } n\neq m\\ 0 & \text{else} \end{array}\right\}. $$ Entonces, en estas circunstancias, ¿pueden estar realmente en el mismo lugar?

EDIT2: He realizado el cálculo con el término medio. Ahora obtengo $0$ para la densidad de probabilidad de $x_1=x_2=L/2$

Answer 1

No. Si calculas $$ |\Psi (x_1,x_1)| $$ directamente es cero. Su argumento "ya que $\Psi_n$ y $\Psi_m$ son ortogonales el término medio es cero' es incorrecto ya que la condición de ortogonalidad requiere que se integre sobre el dominio.

Answer 2

(Esto es un reemplazo de una respuesta que era incorrecta. "Hoy he aprendido", como se dice en Internet).

Una forma de responder a esta pregunta es cambiar las variables. Introduzcamos

\begin{align} \Sigma x &= x_1 + x_2 & \Sigma x + \Delta x &= 2x_1 \\ \Delta x &= x_1 - x_2 & \Sigma x - \Delta x &= 2x_2 \end{align}

y tratar de encontrar una densidad de probabilidad en términos de $\Delta x$ .

Dadas sus funciones de onda, $$ \psi_m(x_1) = \sqrt\frac2L\sin\frac{m\pi x_1}L, $$ un poco de lucha con las identidades trigonométricas muestra que

\begin{align} \sqrt2\psi_{mn}(x_1,x_2) &= \psi_m(x_1) \psi_n(x_2) - \psi_n(x_1) \psi_m(x_2) \\ &= \frac2L\left[ \sin\left(\tfrac{m+n}2\tfrac{\pi\Sigma x}L\right) \sin\left(\tfrac{m-n}2\tfrac{\pi\Delta x}L\right) - \sin\left(\tfrac{m-n}2\tfrac{\pi\Sigma x}L\right) \sin\left(\tfrac{m+n}2\tfrac{\pi\Delta x}L\right) \right] \end{align}

Si integramos esta distribución sobre todos los valores permitidos de $\Sigma x$ nos quedamos con

\begin{align} {\Large\vert}\psi(\Delta x){\Large\vert}^2 &= \int_{\Sigma x = |\Delta x|}^{2L-|\Delta x|}\mathrm d(\Sigma x) {\Large\vert}\psi(\Sigma x,\Delta x){\Large\vert}^2 \\ &= 2\frac {L-|\Delta x|}{L^2} \left[ \sin^2\left(\frac{m-n}2\frac{\pi\Delta x}L\right) + \sin^2\left(\frac{m+n}2\frac{\pi\Delta x}L\right) \right] \end{align}

que es la distribución de probabilidad para encontrar sus dos partículas separadas por una distancia $\Delta x$ . Como $\Delta x$ se hace pequeño, el término entre corchetes pasa a ser proporcional a $(m^2+n^2)\Delta x^2$ : es más probable encontrar partículas altamente excitadas cerca unas de otras que partículas en los estados inferiores, pero la densidad de probabilidad de encontrar dos partículas con $x_1=x_2$ desaparece.

A continuación se presentan algunos resultados numéricos para un $m,n$ (haga clic para ampliar). La línea nula en la densidad de probabilidad conjunta en $x_1=x_2$ (centrado horizontalmente) es bastante fácil de distinguir. Los mínimos locales de la densidad de probabilidad en $|\Delta x|/L = 0.42, 0.84$ no son en realidad ceros, aunque es difícil de distinguir en esta presentación particular del gráfico.

Answer 3

Esto no tiene nada que ver con la dinámica; es cierto sin ninguna mención a los "niveles de energía" y se deduce puramente como consecuencia de los principios generales de cuantificación de los sistemas fermiónicos.

La afirmación correcta para un observable continuo $x$ es un poco técnico y no más esclarecedor (concretamente, la función de densidad de probabilidad conjunta $f(x_1,x_2)$ va a $0$ como $x_2 \rightarrow x_1$ ), así que consideremos un espacio de Hilbert de una partícula finita de dimensión $n$ con un operador autoadjunto $\hat A$ con un espectro no degenerado de valores propios $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ y los correspondientes vectores propios $|\alpha_1 \rangle, \ldots, |\alpha_n \rangle$ .

Si queremos describir un sistema con 2 fermiones idénticos no interactuantes de este tipo, tenemos $n(n-1)/2$ vectores base que pueden ser elegidos como $|\beta_{ij}\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|\alpha_i\rangle \otimes | \alpha_j \rangle - |\alpha_j\rangle \otimes | \alpha_i \rangle)$ , donde $1 \le i < j \le n$ . Los fermiones sólo pueden ocupar estos estados, no la totalidad de los $n^2$ espacio tensorial dimensional, porque los estados deben ser antisimétricos bajo el intercambio de partículas. Sin embargo, un estado en el que ambas partículas se miden para tener $A = \alpha_i$ sería necesariamente $|\alpha_i \rangle \otimes | \alpha_i \rangle$ y no existe tal estado como combinación lineal de los $|\beta_{ij}\rangle$ . Por supuesto, tal estado existe en el espacio completo del producto tensorial, pero es ortogonal al subespacio fermiónico porque es simétrico y no antisimétrico bajo el intercambio de partículas.

Sin embargo, hay una forma de evitarlo. Si dejas que $\hat A$ tienen un espectro degenerado con $\alpha_i = \alpha_j$ entonces tienes 2 vectores distintos $|\alpha_i \rangle$ y $|\alpha_j\rangle$ con el mismo valor observado de $A$ y el estado antisimétrico $|\beta_{ij}\rangle$ es un estado en el que mediríamos ambas partículas con $A = \alpha_i = \alpha_j$ . Lo análogo en el caso continuo sería permitir números cuánticos adicionales, es decir, que los estados $\{ |x\rangle \}$ ya no son suficientes como base. Esto es de crucial importancia, por ejemplo, si queremos tener fermiones con espín, pero la pregunta lo descarta específicamente, y sin eso es cierto que los dos fermiones siempre tendrán posiciones diferentes.