Una pregunta sobre un paso en la justificación del método de la potencia (Escribir un vector en términos de los vectores propios de una matriz)

Question

Dejemos que $A$ ser un $t \times t$ matriz. ¿Podemos presentar alguna $t \times 1$ como una combinación lineal de los vectores propios de $A$ ? Creo que este no debería ser el caso a menos que todos los vectores propios de $A$ resultó ser linealmente independiente. (¿verdad?) Pero parece que se utiliza en la prueba del método de la potencia a continuación.

Editar: Así es como funciona el argumento: Supongamos que $x_0$ es un vector inicial. Escríbalo en términos de vectores propios de $A$ es decir $x_0 = \sum_i c_i v_i$ donde $v_i$ es el $i^{th}$ vector propio y $\lambda_i$ el valor propio correspondiente. Sea $x(n) = A^n x_0$ . Queremos encontrar $\lim_{n \to \infty} x(n).$ Basándonos en la primera hipótesis tenemos $x(n) = A^n \sum_i c_iv_i= \sum_i c_i \lambda_i ^n v_i= \lambda_1^n \sum_i (\lambda_i/\lambda_1)^n v_i$ donde $(\lambda_1, v_1)$ es el par propio principal. Dado que $\lambda_i/\lambda_1 <1, \forall i\neq1$ todos los términos de la suma decaen exponencialmente como $n$ se hace grande y por lo tanto en el límite obtenemos $x(n) = c_1 \lambda_1^n v_1$ . En otras palabras, $x= \lim_{n \to \infty} x(n)$ es simplemente proporcional al vector propio principal de la matriz. Equivalentemente, $Ax = \lambda_1 x$ .

Answer 1

Como ya dijo @oldrinb, los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son siempre linealmente independientes.

A continuación, una matriz tiene una base de vectores propios si y sólo si es diagonalizable, lo que no siempre es el caso, considere $$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.$$ This matrix has only one eigenvector (up to a constant factor) $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ .

Otro problema surge cuando se quiere tener diagonalidad sobre $\Bbb R$ no $\Bbb C$ . Por ejemplo, una matriz $$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$ es diagonalizable sobre $\Bbb C$ y no diagonalisabe sobre $\Bbb R$ .

Así que finalmente, cualquier vector es una combinación lineal de eigenvectos $\iff$ existe una base de vectores propios $\iff$ la matriz es diagonalizable.

Su ilustración con el método del poder no es realmente relevante. Hace muchas suposiciones sobre la matriz (en la mayoría de los casos pedimos que tenga valores propios reales y que el valor propio del mayor valor absoluto sea de multiplicidad uno).