La tabla de proporciones representa la relación del cuadrado de la unidad sobre el área bajo la curva indicada, $y = (1-x^{1/p})^n$ . Supondremos que $p, n \geqslant 0$ y adoptar la convención de que la zona es $1$ cuando $p=0$ El área del cuadrado unitario es siempre $1$ mientras que el área bajo la curva es \begin{align} A_{p,n} = \int_0^1 (1-x^{1/p})^n ~ dx \end{align} y el número de Wallis correspondiente en la tabla es simplemente el recíproco, $W_{p,n} = 1 / A_{p,n}$ . Parece que por convención el área $A_{p,n}$ se toma como $1$ cuando $p=0$ .
Para evaluar la integral, se puede empezar haciendo la sustitución $x = \sin^{2p} \theta$ para $0 \leqslant \theta \leqslant \pi/2$ para que $dx = 2p\sin^{2p-1}\theta \cos \theta ~d\theta$ \begin{align} A_{p,n} &= \int_0^{\pi/2} (1-\sin^2\theta)^n \cdot 2p \sin^{2p-1}\theta \cos \theta d\theta \\ &= 2p\int_0^{\pi/2} \cos^{2n+1} \theta \sin^{2p-1}\theta ~d\theta. \end{align} En este caso sólo le interesa una instancia concreta, $p=3/2, n=0,\frac{1}{2},1, \cdots$ , dando $$A_{p,n} = 2p \int_0^{\pi/2}\sin^2\theta \cos^{2n+1}\theta ~d\theta$$ donde $m=2n+1=1,2,3,\cdots$ . Integrar una vez por partes, \begin{align} A_{p,n} = 2p \int_0^{\pi/2} \cos^{2n+1} \theta - \cos^{2n+3}\theta ~ d\theta . \end{align} Estas integrales son estándar, véase la entrada de Wikipedia para La integral de Wallis , dando, \begin{align} \begin{array} ~A_{3/2,0} = 1 & A_{3/2,1/2} = \frac{3\pi}{16} \\ A_{3/2,1} = \frac{6}{15} & A_{3/2,3/2} = \frac{3\pi}{32} \\ \cdots & \cdots\\ n=k, k=0,1,\cdots & n=k+\frac{1}{2},k=0,1,\cdots\\ A_{3/2,n}=3\frac{2^{2k}k!^2}{(2k+1)!}\frac{1}{2k+3} & A_{3/2,n}=3\frac{(2k+2)!}{2^{2k+3}(k+1)!^2}\frac{1}{k+2} \frac{\pi}{2} \end{array} \end{align} y las correspondientes relaciones de Wallis son los recíprocos de estos números.
De forma más general, se puede evaluar $A_{p,n}$ para $p$ y $n$ cuando cualquiera de ellos es un múltiplo de $\frac{1}{2}$ considerando la integral, $$I_{r,s} = \int_0^{\pi/2} \sin^r\theta \cos^s \theta~d\theta.$$ en el que $r, s$ son enteros no negativos; observe primero $I_{r,s}=I_{s,r}$ . Evaluar los casos especiales cuando $r=0,1, s \geqslant 1$ y $s=0,1, r \geqslant 1$ . A continuación, utilice la integración por partes para obtener la relación de recurrencia, $$I_{r,s}=\frac{s-1}{r+1} I_{r+2,s-2}$$ donde por simetría podemos tomar $r \geqslant s \geqslant 2$ . Utilizando los casos especiales esto debería dar todos los valores para $I_{r,s}$ . Entonces $A_{p,n} = 2p I_{2p-1,2n+1}$ .
