Dejemos que $R$ sea un anillo arbitrario y $N \vartriangleleft R$ nilpotente tal que $R /N$ es semisimple. Demuestre que N = rad(R).

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo arbitrario y $N \vartriangleleft R$ nilpotente tal que $R /N$ es semisimple. Demuestre que $N = rad(R)$ .

¿Algún consejo para empezar? Sé que $rad(R/N)=N$ desde $R /N$ es semisimple. ¿Puedo demostrar que $rad(R)=rad(R/N)$ ?

Answer 1

Como sabemos, $N\subset rad(R)$ y, para cualquier anillo asociativo $S$ , $x\in rad(S)$ si existe $y\in S$ tal que $x+y+xy=0$ (Un elemento que tiene esta propiedad se llama derecho-cuasi-regular). Por lo tanto, si $x$ es r-q-r en $R$ entonces $\overline{x}$ es r-q-r en $\overline{R}=R/N$ Por lo tanto $\overline{x}\in rad(\overline{R})=\overline{0}$ . Es decir, $x\in N$ . Hemos demostrado que $rad(R)\subset N$ .

Answer 2

Parece que estás usando "semisimple" para referirte a "semisimple de Jacobson", lo que significa que tiene radical de Jacobson trivial. Voy a utilizar $J(R)$ en lugar de $rad$ ya que este último está algo sobrecargado.

En general, por la definición de que el radical de Jacobson es la intersección de los ideales máximos de la derecha, tenemos este hecho: $R/I$ es semiparalelo de Jacobson sólo si $J(R)\subseteq I$ .

Por otro lado, es fácil demostrar que $J(R)$ contiene ideales nilpotentes (eso es quizás más fácil de ver usando la caracterización de $J(R)$ como el conjunto de elementos que aniquilan todos los módulos simples).

Así que estas dos cosas juntas dicen $J(R)\subseteq N$ y $N\subseteq J(R)$ .