Factorización de polinomios en un anillo de cocientes

Question

Estoy tratando de resolver esta cuestión: Que $F=\mathbb{F}_2[y]/(y^3+y+1)$ .

1. Demostrar que $F$ es un campo
2. Factorizar $x^3+x+1$ y $x^3+x^2+1$ en polinomios mónicos irreducibles en $F[X]$ .

He conseguido demostrar la primera parte utilizando $\mathbb{F}_2$ es un campo $\implies \mathbb{F}_2[y]$ es un PID $\implies$ un ideal es maximal si es generado por un elemento irreducible y luego mostrar que $y^3+y+1$ es irreducible. Sin embargo, estoy atascado en la segunda parte. Se agradece cualquier ayuda. ¿Existe un método general para abordar este tipo de preguntas?

Answer 1

Tenemos $F=\mathbb F_2[\alpha]$ , donde $\alpha^3+\alpha+1=0$ . Además, $F$ es un campo con $8$ elementos, todos de la forma $u\alpha^2+v\alpha+w$ con $u,v,w\in\mathbb F_2$ . Para factorizar esos polinomios, basta con encontrar qué elementos son raíces de cada uno.

Por ejemplo, $0=(\alpha^3+\alpha+1)^2=(\alpha^2)^3+\alpha^2+1$ y así $\alpha^2$ es otra raíz de $x^3+x+1$ . Dividir $x^3+x+1$ por $x-\alpha$ y por $x-\alpha^2$ para encontrar la tercera raíz.