Solución de la ecuación integral: $y(x) = 1 + \lambda\int\limits_0^2\cos(x-t) y(t) \mathrm{d}t$

Question

Integral equation

$$y(x) = 1 + \lambda\int\limits_0^2\cos(x-t) y(t) \mathrm{d}t$$ tiene:

1. una solución única para $\lambda \neq \frac{4}{\pi +2}$;

2. una solución única para $\lambda \neq \frac{4}{\pi -2}$;

3. ninguna solución para $\lambda \neq \frac{4}{\pi +2}$, pero la ecuación homogénea correspondiente tiene una solución no trivial; o

4. ninguna solución para $\lambda \neq \frac{4}{\pi -2}$, pero la ecuación homogénea correspondiente tiene una solución no trivial.

Estoy atascado en este problema. ¿Alguien puede ayudarme por favor?

Answer 1

Sugerencia: Usa $$\cos(x-t)=\cos x\cos t+\sin x\sin t$$ y deriva dos veces. Después de eso obtienes: $$y^{\prime\prime}(x)=-(\lambda\int_{0}^2\cos(x-t)y(t)dt)$$ y así $$y^{\prime\prime}+y-1=0$$ La ecuación homogénea correspondiente es $$y^{\prime\prime}+y=0$$ La solución es $y=a\cos x+b\sin x+1$. Solo tenemos que sustituirla de nuevo en la ecuación original. Entonces, $$a\cos x+b\sin x+1=1+\lambda \int_{0}^2\cos(x-t)(a\cos t+b\sin t+1)dt$$ y así $$a\cos x+b\sin x=\lambda \cos x\int_{0}^2\cos t(a\cos t+b\sin t+1)dt+\\\lambda \sin x\int_{0}^2\sin t(a\cos t+b\sin t+1)dt$$ Por lo tanto, tenemos el sistema de ecuaciones: \begin{gather}a=\lambda \int_{0}^2\cos t(a\cos t+b\sin t+1)dt\\ b=\lambda \int_{0}^2\sin t(a\cos t+b\sin t+1)dt\end{gather}

Answer 2

Técnica relacionada: (I), (II). La ecuación integral que tienes es una "ecuación de Fredholm de segundo tipo con núcleo separable". Hay técnicas estándar para resolver este tipo de ecuaciones. Mira aquí, página 20 para el método y un ejemplo práctico de cómo encontrar tal $\lambda$.