La transformación lineal $T$ toma vectores en $\mathbb{R}^3$ a los vectores en $\mathbb{R}^3$ Así que $T(e_2)$ debe ser un vector en $\mathbb{R}^3$ y no un elemento de $\Lambda^2 (\mathbb{R}^3)$ . Específicamente, $$ T(e_2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = e_2 + e_3. $$ Del mismo modo, obtenemos que $T(e_1) = e_1 + e_2$ , por lo que debemos tener que $$ T(e_1) \wedge T(e_2) = (e_1 + e_2) \wedge (e_2 + e_3). $$
Editar : Para responder a tu pregunta de seguimiento, recuerda que para encontrar la matriz del operador lineal $\Lambda^2(T)$ con respecto a la base $\{ e_1 \wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_2 \wedge e_3 \}$ basta con encontrar la imagen de los vectores base bajo $\Lambda^2(T)$ . El primer cálculo de este tipo se hace arriba, dando que $$ \Lambda^2(T) (e_1 \wedge e_2) = e_1 \wedge e_2 + e_1 \wedge e_3 + e_2 \wedge e_3. $$ Calculemos la imagen del siguiente vector básico: \begin{align} \Lambda^2(T)(e_1 \wedge e_3) &= T(e_1) \wedge T(e_3)\\ &= (e_1 + e_2) \wedge (e_1 + e_3)\\ &= e_1 \wedge e_1 + e_1 \wedge e_3 + e_2 \wedge e_1 + e_2 \wedge e_3\\ &= -e_1 \wedge e_2 + e_1 \wedge e_3 + e_2 \wedge e_3. \end{align} Del mismo modo, encontramos que $\Lambda^2(T)(e_2 \wedge e_3) = -e_1 \wedge e_2 - e_2 \wedge e_3 + e_2 \wedge e_3$ . Recordemos que la primera columna de la matriz $\Lambda^2(T)$ será la imagen del primer vector base $e_1 \wedge e_2$ es decir, el vector $(1,1,1)$ la segunda columna de la matriz será la imagen del segundo vector base $e_1 \wedge e_3$ es decir, el vector $(-1,1,1)$ la tercera columna de la matriz es la imagen del tercer vector base $e_2 \wedge e_3$ es decir $(-1,-1,1)$ . Por lo tanto, la matriz de $\Lambda^2(T)$ con respecto a la base $\{ e_1 \wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_2 \wedge e_3 \}$ viene dada por $$ \Lambda^2(T) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. $$
