Resolver la ecuación integral de convolución (Abel)

Question

Resuelve la ecuación integral, $$I = \int_{0}^{t} \frac{f(\tau)}{\sqrt{t - \tau}}d\tau = \sqrt{2g}T$$ donde $T, g$ son constantes. Encuentra $f(t)$

Veo que $$I = f(t) * g(t)$$ donde $f(t)$ necesitamos encontrar y $g(t) = \frac{1}{\sqrt{t}}$

Usando el teorema de convolución, vemos que:

$$\sqrt{2g}T = \mathcal{L}^{-1}\{ \mathcal{L}(f) \mathcal{L}(g) \} $$

Dejemos que $F(s) = \mathcal{L}(f)$ y sabemos $\mathcal{L}(g) = \frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}$ por lo tanto,

$$\sqrt{2g}T = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathcal{L}^{-1} \{\frac{F(s)}{s^{3/2}}\}$$

Ahora, me he quedado atascado.

¿Alguien puede aportar algo de ayuda?

Answer 1

Comienza tomando la transformada de Laplace de ambos lados: $$\mathcal{L}\left\{f(t)\ast \frac{1}{\sqrt{t}}\right\}=\mathcal{L}\left\{\sqrt{2g}\cdot T\right\} \tag{1}$$ Obsérvese que la transformada de Laplace de $\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ no es $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}$ que es la transformada de Laplace de $\sqrt{t}$ . En cambio, debería tener lo siguiente, ya que $\mathcal{L}\left\{\dfrac{1}{\sqrt{t}}\right\}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{s}}$ . $$F(s)\cdot \color{green}{\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{s}}}=\frac{\sqrt{2g}\cdot T}{s}$$ Dónde $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ . Ahora, queda por resolver para $F(s)$ : $$F(s)=\frac{\sqrt{2g}\cdot T}{\sqrt{\pi}}\cdot \frac{1}{\sqrt{s}} \tag{2}$$ Evaluar la transformada inversa de Laplace para obtener $f(t)$ . Si quieres verificar tu respuesta, comprueba si satisface la ecuación integral: Lo he probado y funciona.

Answer 2

Como lo hizo, utilizando el teorema de la convolución :

$$\mathscr{L}_t\left[\text{f}\left(t\right)\space*\space\text{g}\left(t\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}=\text{F}\left(\text{s}\right)\cdot\text{G}\left(\text{s}\right)\tag1$$

Así que, tenemos:

$$\mathscr{L}_t\left[\int_0^t\frac{\text{f}\left(\tau\right)}{\sqrt{t-\tau}}\space\text{d}\tau\right]_{\left(\text{s}\right)}=\mathscr{L}_t\left[\text{f}\left(t\right)\space*\space\frac{1}{\sqrt{t}}\right]_{\left(\text{s}\right)}=\text{F}\left(\text{s}\right)\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\text{s}}}=$$ $$\mathscr{L}_t\left[\text{T}\cdot\sqrt{2\text{g}}\right]_{\left(\text{s}\right)}=\text{T}\cdot\sqrt{2\text{g}}\cdot\mathscr{L}_t\left[1\right]_{\left(\text{s}\right)}=\frac{\text{T}\cdot\sqrt{2\text{g}}}{\text{s}}\tag2$$

Así que, tenemos:

$$\text{F}\left(\text{s}\right)\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\text{s}}}=\frac{\text{T}\cdot\sqrt{2\text{g}}}{\text{s}}\space\Longleftrightarrow\space\text{F}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{\sqrt{\text{s}}}\cdot\frac{\text{T}\cdot\sqrt{2\text{g}}}{\sqrt{\pi}}\tag3$$

Y la transformada inversa de Laplace:

$$\mathscr{L}_\text{s}^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{\text{s}}}\right]_{\left(t\right)}=\frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{t}}\tag4$$

Así que, tenemos:

$$\text{f}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{t}}\cdot\frac{\text{T}\cdot\sqrt{2\text{g}}}{\sqrt{\pi}}=\frac{\text{T}\cdot\sqrt{2\text{g}}}{\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{t}}\tag5$$