Estoy un poco confundido en el cálculo de la $\rho$ para dos variables aleatorias. Sea $f(X,Y) = 1$ con el apoyo de $-x < y < x$ y $0 < x < 1$ . Sé que la definición de $\rho$ es simplemente $\rho = \frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$ . Por lo tanto, he calculado E[XY] = \begin{equation} E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{-x}^{x} xy \,dy\,dx \end{equation}
Pero está claro que la cantidad anterior es sólo $0$ y $E[Y] = 0$ . Por lo tanto, por la definición de covarianza $cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$ pero ambos términos de la diferencia son cero, por lo que la covarianza es 0 y esto implica $\rho = 0$ . ¿He hecho este cálculo incorrectamente? Me parece que hay algo que no está bien, porque hay una dependencia en el soporte de la PDF conjunta, y por lo tanto parece que debería haber una correlación no nula entre estas variables aleatorias. Sólo busco qué he hecho mal aquí si es que de hecho he hecho algo mal. ¡Gracias por leer!
