Convergencia del conjunto frente a la convergencia del perímetro

Question

Dejemos que $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto y $E$ sea un conjunto de perímetro finito en $\Omega$ (es decir, la función indicadora $\chi_E\in BV(\Omega)$ ), $\|\partial E \|(\Omega)$ el perímetro de $E$ en $\Omega$ . Dejemos que $B_k$ sea la bola abierta con centro en $0$ y el radio $k$ . Dejemos que $E_k:=E\cap B_k$ .

¿Es cierto que

$$ \|\partial (E_k) \|(\Omega) \xrightarrow{k\to\infty} \|\partial (E) \|(\Omega) \quad ? $$

Answer 1

No, toma $\Omega=\mathbb R$ y $E=\mathbb R\setminus [-1,1]$ . $|\partial E|=2$ . Pero $|\partial E_k|=4$ para cualquier $k>1$ .