Compacidad de la esfera unitaria en un espacio vectorial normado de dimensión finita

Question

Para demostrar que las normas definidas en cualquier espacio vectorial real (o complejo) de dimensión finita $E$ son equivalentes, necesito demostrar la compacidad de la esfera unitaria $S_{\infty}=\{x\in E\,\vert\,||x||_{\infty}=1\}$ donde la norma particular depende de una base $\mathcal{B}$ . Sea $\dim E=n$ . En mis notas, definimos una isometría $\phi:E,||\cdot||_{\infty}\to\mathbb{C}^{n},||\cdot||_{\infty}:x\mapsto(x_{1},\dots,x_{n})$ y decimos que, como es una isometría, $\phi(S_{\infty})$ es compacto implica $S_{\infty}$ es compacto. Entiendo que $\phi(S_{\infty})$ es compacto porque está acotado y cerrado. No entiendo la implicación $\phi(A)$ compacto $\implies$ $A$ compacto.

Gracias de antemano por sus respuestas

Answer 1

Sólo se trata de demostrar que toda secuencia (acotada en el $||.||_\infty$ norma) $\{v_n\}\subset S_\infty$ de vectores tiene una subsecuencia convergente. Para $w_n:=\phi(v_n)$ la secuencia correspondiente $\{ w_n \} $ tiene, en virtud de la compacidad de $\phi(S_\infty)$ una subsecuencia convergente $\{w_{n_k}\}$ convergiendo a algún $w \in \phi(S_\infty)$ . Ahora hay un candado obvio para una subsecuencia de $\{v_n\}$ convergiendo a $v := \phi^{-1}(w)$ y para demostrar la convergencia basta con utilizar el hecho de que $\phi$ es una isometría lineal. Esto significa que para cualquier par $x,y \in E $ de vectores, tenemos $||x-y|| = ||\phi (x-y)||=||\phi (x) -\phi (y)||$ .