Función entera que desaparece en $n+\frac{1}{n}$ para $n\geq 1$ .

Question

Era un problema: existe una función entera que desaparece en $n+\frac{1}{n}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ ?

Dado que el conjunto $\left\{n+\frac{1}{n}\right\}_{n\geq 1}$ no tiene ningún punto límite en $\mathbb{C}$ por el teorema de Weierstrass, existe tal función.

Pregunta: ¿Podemos producir una función entera (no nula) que desaparezca en el conjunto anterior utilizando las conocidas funciones $\sin z, \cos z, e^z$ ¿policía, polinomio, etc.? [En otras palabras, ¿podemos escribir nuestra función requerida como una composición de $\sin, \cos, e$ polinomios, etc.]

Answer 1

Si no te importa un montón de ceros extraños, puedes tomar $$ f(x)=\cos(\pi\sqrt{x^2-4})-\cos(\pi x) $$ que está entero porque $\cos x$ es uniforme y completo, y por lo tanto $\cos\sqrt{x}$ está completo.

Utilizando la fórmula del producto a la suma, tenemos $$ f(x)=2\sin\left(\pi \frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}\right)\sin\left(\pi \frac{x-\sqrt{x^2-4}}{2}\right) $$ y el primer factor de este producto ya es cero en cada uno de los puntos $n+\frac{1}{n}$ : si $x=n+\frac{1}{n}$ y $x > 1$ entonces $\sqrt{x^2-4}=n-\frac{1}{n}$ y así el argumento que se pasa a $\sin$ es un múltiplo de $\pi$ .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que esto también desaparecerá cuando $x=n+\frac{1}{n}$ para $n$ a negativo entero (por el segundo factor). Así que si estás buscando algo que podría haber salido del teorema de Weierstrass (es decir, algo con precisamente su conjunto cero original), esto no es...