Demostrar que un vector biseca a otros dos vectores

Question

Cómo puedo probar el vector: $$\vec{w}=|\vec{u}|\vec{v} + |\vec{v}| \vec{u}$$ biseca el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ?

He intentado utilizar el producto escalar, pero no me sirve. Gracias.

Answer 1

Queremos calcular $\theta_{u,w}$ y sabemos que $\cos\theta_{u,w} = \frac{u\cdot w}{|u||w|}$ . Calculemos $u\cdot w$ en términos de $u$ y $v$ : $$\begin{align*} u\cdot w &= |u|u\cdot v + |v|u\cdot u\\ &= |u|^2|v|\cos\theta_{u,v} + |u|^2|v|\\ &= |u|^2|v|(1 + \cos\theta_{u,v}) \end{align*}$$

Entonces, también podemos calcular $$|w| = \sqrt{w\cdot w} = \sqrt{2}|u||v|\sqrt{1+\cos\theta_{u,v}}.$$ A partir de esto tenemos entonces $$\begin{align*} \cos\theta_{u,w} &= \frac{u\cdot w}{|u||w|}\\ & = \frac{|u|^2|v|(1 + \cos\theta_{u,v})}{\sqrt{2}|u|^2|v|\sqrt{1+\cos\theta_{u,v}}}\\ &= \sqrt{\frac{1+\cos\theta_{u,v}}{2}} \end{align*}$$ Así, $\theta_{u,w} = \theta_{u,v}/2$ por la fórmula del medio ángulo.