Cómo puedo probar el vector: $$ \vec{w}=|\vec{u}|\vec{v} + |\vec{v}| \vec{u} $$ biseca el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ?
He intentado utilizar el producto escalar, pero no me sirve. Gracias.
Cómo puedo probar el vector: $$ \vec{w}=|\vec{u}|\vec{v} + |\vec{v}| \vec{u} $$ biseca el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ?
He intentado utilizar el producto escalar, pero no me sirve. Gracias.
Queremos calcular $\theta_{u,w}$ y sabemos que $\cos\theta_{u,w} = \frac{u\cdot w}{|u||w|}$ . Calculemos $u\cdot w$ en términos de $u$ y $v$ : \begin{align*} u\cdot w &= |u|u\cdot v + |v|u\cdot u\\ &= |u|^2|v|\cos\theta_{u,v} + |u|^2|v|\\ &= |u|^2|v|(1 + \cos\theta_{u,v}) \end{align*}
Entonces, también podemos calcular $$ |w| = \sqrt{w\cdot w} = \sqrt{2}|u||v|\sqrt{1+\cos\theta_{u,v}}.$$ A partir de esto tenemos entonces \begin{align*} \cos\theta_{u,w} &= \frac{u\cdot w}{|u||w|}\\ & = \frac{|u|^2|v|(1 + \cos\theta_{u,v})}{\sqrt{2}|u|^2|v|\sqrt{1+\cos\theta_{u,v}}}\\ &= \sqrt{\frac{1+\cos\theta_{u,v}}{2}} \end{align*} Así, $\theta_{u,w} = \theta_{u,v}/2$ por la fórmula del medio ángulo.
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¿Has probado a utilizar el producto escalar? (Puede decirte el ángulo entre cualquier par de vectores).
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$cos(\theta_{w,u})=\frac{u\cdot w}{|u||w|}$ ¿Qué me da esto?
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Puede anotar lo que $u\cdot w$ es en términos de $u$ y $v$ : $u\cdot w = |u|u\cdot v + |v|u\cdot v = u\cdot v(|u| + |v|)$ ...
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Cuando termines el álgebra puedes publicar una respuesta a tu propia pregunta. Espero que eso ocurra antes de que alguien venga y lo haga por ti.
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OK. Después de un poco de álgebra obtengo $\frac{cos(\theta_{w,v})}{|v|}=\frac{cos(\theta_{w,u})}{|u|}$ . ¿No debería obtener una igualdad sin denominador?
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Por cierto, @JohnMartin: creo que tienes un error- $u\cdot w = |u|u\cdot v + |v|u\cdot u = $ y no lo que has escrito. ¿Estoy en lo cierto? Muchas gracias.
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Ah, haha woops. Tienes razón, sí. Sólo me aseguraba de que estabas prestando atención ;)
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Entonces, ¿tiene alguna idea sobre cómo debo resolver esto?
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@JohnMartin :(
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@bbbburgers He publicado una respuesta. Hazme saber si necesitas más aclaraciones. No estoy seguro de lo lejos que estás en tu carrera de matemáticas...