¿A qué se simplifica la siguiente expresión?

Question

$$x \mod 1000 \mod 5$$

Habría pensado que era $x \mod 5000$ excepto que no es cierto para $x = 5005$ ya que obtendrá cero, pero $5005 \mod 5000 = 5$ .

Answer 1

Como 5 es un divisor de 1000, creo que la expresión se simplificaría a "x mod 5", ya que la adición de múltiplos de 1000 no cambiaría el resto al dividirlo entre 5.

Answer 2

Tenga en cuenta que $x \pmod {1000}$ es lo mismo que $1000k+x$ , donde $k \in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $x \pmod {1000} \pmod{5}$ es lo mismo que $5m+x\pmod{1000} = 5m+1000k+x = 5(m+200k)+x$ es lo mismo que $x \pmod5$ .

Answer 3

El Teorema Chino del Resto proporciona la solución a lo siguiente $$\begin{cases} a_1 & \mod n_1\\ a_2 & \mod n_2\\ \dots \end{cases}$$ si $n_1, n_2, \dots$ son primos relativos. Si no es así, se puede simplemente factorizar $n_x = p_1 p_2 \dots$ y expresar $a_x$ con $\mod p_1, p_2, \dots$ y en su pregunta, $1000 = 5 \times 200$ Así que $x \mod 5$ es sólo una tautología.