Desigualdades que implican partes reales de funciones características

Question

Dado $X$ es una variable aleatoria continua que toma valores en los reales, y $\phi(t)$ es su ficción característica, es decir, $\phi(t):=\Bbb E(\exp(iXt))$ entonces demuestre que $$\Re (1-\phi(t))\ge \frac14\Re(1-\phi(2t)).$$

Reduciendo todo, consigo que lo que se muestre sea realmente $$\Bbb E|\cos tY|\le \Bbb E|\cos tY|^2+\frac14.$$ No sé cómo superar eso $\dfrac14$ . ¿Existe alguna desigualdad que pueda producir una aditivo constante en un lado? Que yo sepa, ni Chebyshev ni Hölder pueden hacerlo.

Answer 1

Es sólo una desigualdad trigonométrica, obtenida a partir de las fórmulas del doble ángulo. En el lado izquierdo, utilizamos

$$1 - \cos \varphi = 2\sin^2 \frac{\varphi}{2},$$

y en el lado derecho,

\begin{align} \frac{1-\cos (2\varphi)}{4} &= \frac{\sin^2 \varphi}{2} \\ &= \frac{\bigl(2\sin \frac{\varphi}{2}\cos \frac{\varphi}{2}\bigr)^2}{2} \\ &= 2\sin^2 \frac{\varphi}{2} \cos^2 \frac{\varphi}{2}. \end{align}

Desde $\cos^2 \frac{\varphi}{2} \leqslant 1$ tenemos una desigualdad puntual para los enteros, y la integración con respecto a una medida positiva, en particular una medida de probabilidad, preserva la desigualdad puntual.