$1/\cos x$ integración

Question

Pregunta: El objetivo de esta pregunta es integrar $\frac{1}{\cos x}$
a. Escribe una integral como $\int \frac{\cos x}{\cos^2(x)}dx$ [HECHO]
b. Utilice $u= \sin x$ [HECHO]
c. Utilizar la fracción parcial para integrar [HECHO]
d. Multiplicar una fracción arriba y abajo por $1+\sin x$ para simplificarlo.

Mi respuesta a la parte c es $\frac{\ln(1+\sin x)}{2} - \frac{\ln(1-\sin x)}{2} +c$ pero no pude simplificarla multiplicando $1 + \sin x$ . ¿Hay alguna forma de hacerlo?

Answer 1

Puedes utilizar esta técnica,

Podemos escribir, $$\int \sec x dx$$ $$\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} dx$$ Tomando $u=\sec x+\tan x$ $$du=\sec x(\sec x+\tan x)$$

$$\int \frac{1}{t} dt$$$$ |ln |t| $$$$\ln (|\sec x+\tan x|)$$

O

$$\ln \Big(\Big|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\Big|\Big)$$ Multiplicar y dividir por $1+\sin x$ $$\ln \Big(\Big|\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}\Big|\Big)$$ $$\ln \Big(\Big|\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}\Big|\Big)$$ $$\ln \Big(\Big|(tan x+\sec x)^2\Big|\Big)$$ $$2\ln \Big(\Big|\tan x+\sec x\Big|\Big)$$

Answer 2

De su respuesta en la parte (c)

$ A =\frac{1}{2} \ln(1+\sin x ) - \frac{1}{2}\ln (1-\sin x) $

$ = \ln (\sqrt{1+\sin x}) - \ln (\sqrt{1-\sin x}) $

$ = \ln\left(\frac{\sqrt{1+\sin x }}{\sqrt{1-\sin x}}\right) $

$= \ln\left(\sqrt{\frac{1+\sin x }{1-\sin x} \cdot \frac{1+\sin x}{1+\sin x}}\right) $

$= \ln\left(\frac{1+\sin x }{\sqrt{1-\sin^2 x}}\right)$

$= \ln\left(\frac{1+\sin x }{\cos x}\right)$

$= \ln\left(\sec x + \tan x \right) .$