Asumo (como en Ethier-Kurtz) que $X$ y $Y$ toman valores en un espacio métrico $E$ . De hecho, para poder aplicar posteriormente un resultado conocido, supongo que $E$ es completa y separable. Sea $\Bbb Q_+$ denotan los números racionales no negativos, y sea $H:=E^{\Bbb Q_+}$ denotan el espacio de caminos de $\Bbb Q_+$ a $E$ con el producto asociado $\sigma$ -Álgebra $\mathcal H:=\mathcal E^{\otimes\Bbb Q_+}$ . (Aquí $\mathcal E$ es el Borel $\sigma$ -álgebra en $E$ .) Sea $(\Omega_1,\mathcal F_1,P_1)$ denotan el espacio de probabilidad en el que $Y$ se define. Entonces $Y$ visto como un mapa $\omega\mapsto(Y_s(\omega):s\in\Bbb Q)$ de $\Omega_1$ a $H$ induce una medida de probabilidad $P_Y$ en $(H,\mathcal H)$ : $P_Y(B)=P_1(\{\omega\in\Omega_1: Y(\omega)\in B\})$ , $B\in\mathcal H$ . Igualmente, $X$ induce $P_X$ y $P_Y=P_X$ porque $X$ y $Y$ son equivalentes. Ahora definamos $G:=\{x\in H: x$ es la restricción a $\Bbb Q$ de un mapa continuo a la derecha de $[0,\infty)$ en $E\}$ . Se sabe que $G$ está en la finalización de $\mathcal H$ para cada medida de probabilidad sobre $(H,\mathcal H)$ (véase, por ejemplo, el teorema IV-18 en el volumen A de Probabilidades y potencial por Dellacherie y Meyer), por lo que escribir $\overline P_X$ para la realización de $P_X$ se comprueba que $\overline P_X(G)=1$ porque $X$ tiene caminos continuos hacia la derecha. De ello se desprende que $\overline P_Y(G)=1$ también. En consecuencia, existe $G_0\in\mathcal H$ con $G_0\subset G$ y $P_Y(G_0)=1$ . Por último, defina $Z_t(\omega):=\lim_{s\downarrow t,s\in\Bbb Q}Y_s(\omega)$ , $t\ge 0$ , si $\omega\in Y^{-1}(G_0)$ y $Z_t(\omega)=e_0$ para todos $t\ge 0$ si $\omega\in Y^{-1}(G_0)$ , donde $e_0$ es un punto fijo de $E$ .
(Sospecho que éste no es el argumento previsto por Ethier-Kurtz para un ejercicio que aparece tan temprano en su tratamiento, pero no se me ocurre una prueba más sencilla).
