Problema de valor inicial para el recorrido de las matrices

Question

Supongamos que $M$ es un $n \times n$ matriz. Entonces la familia $T(t) := \exp (tM)$ resuelve el problema de valor inicial

$$T'(t) = M \cdot T(t) \textrm{ and } T(0)=I.$$

Esta es mi pregunta. Supongamos que en lugar de una única matriz $M$ comenzamos con una trayectoria continua $t \mapsto M(t)$ de matrices. ¿Hay siempre un camino correspondiente $t \mapsto T(t)$ de matrices invertibles tales que

$$T'(t) = M(t) \cdot T(t) \textrm{ and } T(0)=I?$$

Si la respuesta es afirmativa, aquí hay otra pregunta . Para una sola matriz $M$ , si $M$ es simétrico, entonces los mapas correspondientes $T(t)$ son unitarios. ¿Sigue siendo cierto si empezamos con un camino $M(t)$ de las matrices simétricas inclinadas?

Answer 1

Sí a las dos preguntas. La ecuación de la matriz $T'(t)=M(t)T(t)$ es un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes continuos ( $n\times n$ ecuaciones, y otras tantas funciones desconocidas, es decir, las entradas de $T$ ). Por el teorema estándar de existencia-unicidad para las EDO lineales, existe una solución global única del problema de valor inicial $T'(t)=M(t)T(t)$ , $T(0)=I$ .

Supongamos ahora que $M(t)$ es simétrica para todos los $t$ . La transposición $T^*$ satisface $$(T^*)'=(T')^*=(MT)^*=T^*M^*=-T^*M$$ (Omito el argumento $t$ pero se entiende que está ahí). Por la regla del producto (que funciona para operaciones bilineales como las multiplicaciones de matrices), $$ (T^* T)'=(T^*)'T+T^* T'=-T^*MT+T^*MT=0 $$ Por lo tanto, $T^*T \equiv T^*(0)T(0)=I$ , lo que significa que $T$ es unitaria en todo momento.