No entiendo cómo un ángulo (radianes) se considera un simple número, mientras que los grados (por ejemplo) no lo son.
Creo que los grados son diferentes en el sentido de que se definen arbitrariamente, pero no encuentro la relación entre ser definidos arbitrariamente, y tener una unidad.
¿Cuándo consideramos que las cantidades son sólo números? ¿Y cuándo no?
Las unidades físicas como los metros o los kilogramos son arbitrarias y desconocidas, en el sentido de que no podemos responder con sentido a una pregunta como "¿cuántos son los kilogramos?" (¿cuántos de qué ?).
Por otro lado, con unidades como los grados o los porcentajes, se hacer conocer el valor numérico de la unidad: $1\% = \frac{1}{100}$ y $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ . La razón por la que utilizamos estas unidades, aunque podría sustituirlos por su valor numérico, es sencillo: comodidad (y costumbre).
De hecho, algunas unidades que podríamos considerar desconocidas tienen de hecho valores numéricos. Por ejemplo, los químicos suelen medir cantidades de sustancia en unidades de un topo que se define como el número de objetos constitutivos (átomos, moléculas, etc.) igual al número de átomos en 12 gramos de carbono-12. En este caso hacer sabemos cuántos átomos hay en 12 gramos de carbono-12, aunque no exactamente: el número se conoce como Número de Avogadro y es aproximadamente $6.02214129 \times 10^{23}$ . Así que $1 \operatorname{mol} \approx 6.02214129 \times 10^{23}$ .
De hecho, recientemente se ha propuesto definir un valor exacto para el número de Avogadro (lo que haría del kilogramo una unidad derivada igual a la masa de $\frac{1000}{12}$ moles de carbono-12); una propuesta algo popular es $602{,}214{,}141{,}070{,}409{,}084{,}099{,}072$ $=$ $84{,}446{,}888^3$ que está dentro del error de medición del valor conocido actualmente, y tiene la bonita característica de ser un cubo perfecto.
(Además, bastantes unidades físicas "fundamentales", como el metro y el kilogramo mencionados anteriormente, pueden recibir valores numéricos expresándolos en Unidades Planck que son (se cree que son) en cierto sentido naturales para el universo en el que vivimos. Así que, en ese sentido, la línea entre los dos tipos de unidades se difumina un poco).
Por supuesto, hay una pregunta relacionada que no han respuesta, que es "¿por qué los ángulos se miden naturalmente en radianes, entonces?". Una de las respuestas es que las matemáticas simplemente funcionan así: las funciones trigonométricas tienen algunas propiedades matemáticas muy agradables y naturales cuando se definen en términos de radianes (como el hecho de que la derivada de $\sin x$ es $\cos x$ ), que no tendrían si los ángulos se midieran en cualquier otra unidad.
Sin embargo, a pesar de su naturalidad, los radianes no son siempre la opción más sencilla para medir ángulos. Por ejemplo, en muchas situaciones, la medición de ángulos como fracciones de un círculo completo puede simplificar los cálculos al eliminar los molestos factores de $2\pi$ . Por otra parte, a veces también ocurre lo contrario.
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