Dejemos que $D$ sea el disco cerrado, $B$ sea el interior de $D$ , $S^1$ el límite.
Asumo que cuando dices $f:D\to D$ es continua hasta el límite sólo quieres decir $f$ es continua.
Supongamos que $f$ no fueran suryentes. Entonces hay $a\in B\setminus f(D)$ . Proyectando hacia fuera el límite, obtenemos un mapa $D\to S^1$ que es un homeomorfismo en la frontera. Componiendo con la inversa de $f|_{S^1}$ obtenemos un mapa $r:D\to S^1$ tal que $r|_{S^1}$ es la identidad. Es decir, obtenemos una retracción de $D$ a $S^1$ lo que es imposible por la teorema de la no retracción .
En cuanto a la inyectividad, usted dice que sabe que $f^{-1}(x)$ tiene la misma cardinalidad para todos los $x\in B$ . Podemos hacerlo mejor. Observe que $f|_B:B\to B$ es un mapa de cobertura (la restricción está bien definida, ya que $f$ es un homeomorfismo local en $B$ por lo que los puntos interiores de $B$ no puede asignarse a los puntos límite de $D$ ). Ya es un homeomorfismo local sobreyectivo, y además $f^{-1}(x)$ para $x\in B$ es un subconjunto cerrado de $D$ , que es compacto. Por lo tanto, $f^{-1}(x)$ es finito. Tomando vecindades abiertas disjuntas $U_i$ de los puntos $p_1,\ldots,p_n \in f^{-1}(x)$ en el que $f$ es un difeomorfismo local, tenemos $V = \bigcap_{i=1}^n f(U_i) \setminus f\left (D\setminus \bigcup_{i=1}^n U_i\right)$ es una vecindad abierta trivializadora de $x$ , demostrando que $f$ es un mapa de cobertura.
Hay un par de maneras de ver que esto implica que $f|_B$ es inyectiva. Lo más fácil es que $B$ es simplemente conectado, por lo que el mapa de cobertura $f:B\to B$ debe ser una cubierta universal para $B$ y la cardinalidad de las fibras de la cubierta universal es la misma que la cardinalidad del grupo fundamental, que es uno en este caso.
Otra forma de ver esto es que el mapa de identidad en $B$ tiene que levantar sobre $f$ . Es decir, para cualquier $p_i$ en la fibra de algún punto $x\in B$ debe haber un mapa $g_i:B\to B$ tal que $f\circ g_i = \operatorname{id}_B$ y $g_i(x)=p_i$ . Restringiendo a algún conjunto abierto trivializador $V$ para $f$ vemos que $g_i$ es un homeomorfismo local, y por tanto abierto. Así, $g_i(B)$ es un subconjunto abierto de $B$ y cada punto de $B$ se encuentra en algunos $g_j$ de $B$ (por la singularidad de los ascensores, no podemos perder ningún punto en ninguna de las otras fibras o golpearlas dos veces). Así tenemos una partición de $B$ en una unión finita de copias de $B$ . Desde $B$ está conectado, debemos tener que sólo hay una copia de $B$ . Por lo tanto, las fibras de $f$ contienen sólo un elemento.
En cualquier caso, ahora sabemos que $f$ es inyectiva, ya que envía $B$ a $B$ y $S^1\to S^1$ y es inyectiva en cada pieza.
Por lo tanto, como una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff, debe ser un homeomorfismo.
Editar He arreglado la prueba de que $f$ era un mapa de cobertura. En la versión original no estaba claro que $f^{-1}(V)$ sería una unión disjunta de subconjuntos abiertos del $U_i$ pero eso se arregló borrando el complemento de la imagen del resto de $D$ (la imagen está cerrada desde $D$ es compacto). La idea viene de esta respuesta aquí . También inicialmente me faltaba la palabra disjoint al definir los barrios $U_i$ que también es fijo.
Segunda edición Estoy bastante seguro de que he corregido mi error demostrando que el mapa es un mapa de cobertura, pero aquí hay un segundo argumento siguiendo la sugerencia de Moishe Kohan en los comentarios.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que $f|_B$ es adecuado, ya que si $K$ es un subconjunto compacto de $B$ entonces también es compacto como subconjunto de $D$ por lo que su preimagen es cerrada en $D$ y por lo tanto compacto, sin embargo la preimagen debe estar en $B$ . Así, $f|_B$ es apropiado.
Entonces un homeomorfismo local propio es un mapa de cobertura. Ver esta respuesta aquí que generaliza la afirmación de la pregunta a los espacios generados de forma compacta.
