Mi pregunta inicial era encontrar si esta integral $$ \int_0^1 \left(\left{\frac 1x\right}-\frac12\right)\frac{\log(x)}{x}dx$$ is convergent or divergent. ($\left{\frac 1x\right}$ is the fractional part of $\frac 1x$ ).
Mi intento :: \begin{align}\int_0^1\left(\left{\frac 1x\right}-\frac 12\right)\frac{\log(x)}{x} dx & =-\int1^\infty (\left{y\right}-1/2)\frac{\log(y)}{y} dy \ & = \sum{m=1}^{\infty} \int{m}^{m+1} (\left{y\right}-1/2)\frac{\log(y)}{y} dx \ & = \frac14\sum{m=1}^{\infty} \left(\log^2 (m+1)+\log^2(m)-2\int_0^1\log^2(x+m) dx \right) \ &= ... \end{align} Finalmente la integral es convergente ya que la serie obtenida es convergente. Lo curioso es que Mathematica devuelve $0.\times 10^{-2}$ por integración numérica.
Entonces mi pregunta es: ¿Es esta integral igual a cero?
Gracias por su ayuda.
