Si $|ax^2 + bx + c| \le 1$ para todos $x$ en $[0,1]$ entonces evalúa $|a|$ , $|b|$ y $|c|$

Question

Resuelve lo siguiente:

Si $|ax^2 + bx + c| \le 1$ para todos $x$ en $[0,1]$ entonces
i) $|a| \le 8$
ii) $|b| \ge 8$
iii) $|c| \le 1$
iv) $|a| + |b| + |c| \le 17$

Solución de mi libro de texto:

Poner $x = 0, 1 \text{ and } \frac{1} {2}$ para conseguirlo: $$|c| \le 1$$ $$|a + b + c| \le 1$$ $$|a + 2b + 4c| \le 4$$ De las tres ecuaciones anteriores, obtenemos, $|b| \le 8 \text{ and } |a| \le 8$ . Por lo tanto, $|a| + |b| + |c| \le 17$

Sin embargo, no entiendo: cómo, a partir de las tres ecuaciones, se pueden encontrar los valores de $|a|$ y $|b|$ ?

Answer 1

$-1\leq c\leq 1,\ -1\leq a+b+c\leq 1,\ -4\leq a+2b+4c\leq 4$

$-5\leq b+3c\leq\ 5,\ -8\leq b\leq 8$

$-3\leq a+b+3c\leq 3,\ -8\leq a\leq8$

$\therefore |a|+|b|+|c|\leq 17$

Cada vez que sumas o restas, los rangos izquierdo y derecho aumentan. Se trata de un problema de sumar o restar el menor número de veces posible del rango más estrecho posible.

Answer 2

Utilizando la desigualdad del triángulo para simplificar la otra respuesta, tenemos por ejemplo

$$|b+3c|=|a+2b+4c-(a+b+c)|\le|a+2b+4c|+|a+b+c|\le4+1=5$$

$$|b|=|b+3c-3c|\le |b+3c|+|3c|\le5+3=8$$

Answer 3

Dejemos que $f(x)=ax^2+bx+c$ .

Así, $$a+b+c=f(1),$$ $$\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=f\left(\frac{1}{2}\right)$$ y $$c=f(0),$$ que da $$b=4f\left(\frac{1}{2}\right)-f(1)-3f(0),$$ $$a=2f(1)+2f(0)-4f\left(\frac{1}{2}\right)$$ y por la desigualdad del triángulo obtenemos: $$|a|+|b|+|c|\leq2+2+4+4+1+3+1=17.$$ Es interesante que para $f(x)=8x^2-8x+1$ tenemos una igualdad.