Más específicamente, me pregunto si $\sin(1/x) - x$ es discontinua en a $0$. Sé que $f(x)= \sin(1/x)$ es discontinua en a $0$, pero $f(x) = -x$ es continua en todos los puntos. Sin embargo, si puedo añadir estas dos funciones juntas, eso hace que la suma de la función discontinua?
Respuestas
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Primero de todo, debemos tener en cuenta que $\sin(1/x)$, tal y como está es continua donde se define. Por eso, me refiero a que $\sin(1/x)$ no está definida para $x=0$, por lo que debemos asumir que $x\neq 0$ cuando la evaluación de $\sin(1/x)$. Con frecuencia, hemos de evitar este problema escribiendo $$g(x)=\begin{cases} \sin(1/x) & x\neq 0\\ 0 & x=0.\end{cases}$$ This is probably the function you mean to use, or at least something like that. As you note, $g(x)$ is discontinuous at $0$. Suppose that $g(x)+x=f(x)$ was continuous. Then $g(x)=f(x)-x$. Since the difference of continuous functions is continuous, $g(x)$ is continuous. But this is a contradiction. Therefore, $g(x)+x$ no puede ser continua.
fleablood
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Eric Zhang
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Recordemos la definición de continuo. Decimos que una función es continua en $x_0$ si $f(x_0)$ está bien definido, y $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ existe, donde $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$.
Siempre debemos de definir la función formalmente. Deje $f:\mathbb{R}-\{0\}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x)=\sin(1/x)$. Cuando definimos $f$ de esta manera, tenemos $f$ es una función continua. Deje $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $g(x)=x$. Tenemos esta función es continua. No podemos simplemente añadir $f$$g$, ya que su dominio es diferente. Podríamos restringir el dominio de $g$ para el conjunto de $\mathbb{R}-\{0\}$. Donde $g|_{\mathbb{R}-\{0\}}+f$ es continua.
Pero, en general, para cualquier función de $g,f:D\rightarrow R$ donde $f$ es continua y $g$ es discontinuo, tenemos $f+g$ es discontinuo.
