Revisión del ejercicio de la función

Question

Quiero asegurarme de que he hecho todo correctamente, así que aquí está el ejercicio:

Dado $P$ el conjunto de números primos positivos y be $S = \mathbb N^* - \{1\}$ . $\forall n \in S,\ \pi(n)$ es el conjunto de los primos $\in P$ que dividen $n$ , $\ \ p_n = \min\ \pi(n)$ , $\ \ q_n = \max\ \pi(n)$ . Dada también la aplicación: $$f: n \in S \longrightarrow (p_n, q_n) \in P \times P$$ $\rho$ es el siguiente orden de relación definido en $S$ : $$\forall n, m \in S, n\ \rho\ m \iff n = m \text{ or } (p_n\mid p_m\text{ and } q_n < q_m).$$

Preguntas :

1. Es $f$ ¿Inyectiva? ¿Es $f$ ¿subjetivo?
2. ¿Qué es? $f(S)$ ?
3. Determinar en $(S, \rho)$ mínimo, máximo, mínimos y máximos.
4. Es $(S, \rho)$ ¿un entramado?

Mis respuestas :

1. $f$ es NO es inyectiva porque $f(2) = f(4) = (2,2)$ pero $2 \neq 4$ . $f$ es NO es suryectiva porque $\not\exists n \in S: f(n) = (3,2)$

2. $f(S) = \{(p, q) \in P \times P: p \leq q\}$

3. Hay no hay mínimos y ningún mínimo porque el mínimo de los números primos es 2 y este número sólo divide a los números pares y seguramente NO a todos los primos. Hay sin máximos y ningún mínimo porque NO existe un primo que pueda ser dividido por todos los primos.

4. $(S, \rho)$ es no es un entramado porque $\not\exists \inf\{2,3\}$

Os agradezco mucho si alguno de vosotros puede corregirme si me equivoco o no en estas respuestas. Muchas gracias.

Answer 1

(1),(2) : Correcto, pero no has demostrado (2). Si afirma que $Im_f(S)$ es un conjunto $T$ entonces debes demostrar que efectivamente $f$ mapea todo en $S$ en $T$ y a la inversa, todo en $T$ es la imagen de algo en $S$ en $f$ .

(3) : Tienes la idea correcta para el mínimo y el máximo, pero tu razonamiento es totalmente erróneo para el mínimo y el máximo. Mínimo significa que no hay más pequeño. No has demostrado en absoluto que no hay ningún elemento mínimo en $S$ . De hecho, ¿puede encontrar algo en $S$ es decir $ρ$ -más pequeño que $2$ ? Lo mismo ocurre con los elementos máximos.

(4) : Correcto, pero deberías justificarlo diciendo que no hay un primo que divida a ambos $p_2$ y $p_3$ .