Ejemplo de conjunto analítico irreducible, que no define gérmenes analíticos irreducibles en todos sus puntos

Question

¿Es el conjunto $\mathbb C^2 \supset\{ y^2=x^2(1+x) \} $ un buen ejemplo de conjunto analítico irreducible, que hace no definir los gérmenes analíticos irreducibles en todos sus puntos? Intenté construirlo con alguna visión geométrica (mirando lo que ocurre cerca del origen), ahora me gustaría demostrar la corrección (o no) de la afirmación

A la inversa, como ejemplo de conjunto analítico que no es irreducible, pero que define gérmenes analíticos irreducibles en todos sus puntos, puedo tomar dos planos disjuntos en $\mathbb C^2$ ?

Esto está tomado del ejercicio 1.1.11 del libro Geometría compleja por Huybrechts

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es sí. Aquí hay una pista: localmente alrededor del punto $(0,0)$ el polinomio $1+x$ tiene una raíz cuadrada que se puede escribir como una serie de potencias.

La respuesta a la segunda pregunta también es afirmativa: cada $\mathbb{C}^2$ es un componente irreducible y en cualquier punto el germen analítico no ve la otra copia.