Dominio de la función definida en términos de una serie

Question

El dominio de la función $f(x) = \int (x+2x^2 + 3x^3 + ...)dx$ es...

Sólo quiero saber si el método que he utilizado para llegar a la solución es válido. Al encontrar el dominio, primero observé que $x+2x^2 + 3x^3 + ... = \sum_{n=1}^{\infty} nx^n$ que no es más que la derivada de la serie geométrica, que tiene el dominio (intervalo de convergencia) de $(-1,1)$ y diverge fuera del intervalo. Por lo tanto, el dominio de $f$ es $(-1,1)$ .

Esta es la respuesta correcta. Sin embargo, la solución que aparece en la parte posterior del libro parece innecesariamente compleja. En primer lugar, el autor calcula la integral, luego realiza la prueba de la razón en los términos de la serie, lo que le da un intervalo de convergencia de $(-1,1)$ y luego procede a comprobar si $f$ converge en los puntos finales.

Hay que tener en cuenta que esto es para el GRE, así que estoy buscando el método más eficiente sin perder el rigor.

Answer 1

En primer lugar, cuando dijo que

En primer lugar, observé que $x+2x^2+3x^3+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$ que no es más que la derivada de la serie geométrica,

usted efectivamente integrado la serie dada. Lo has hecho rápidamente por observación, pero te has integrado de todos modos. ¡Así que tu primer paso es el mismo que en la solución del libro!

Luego, tienes razón en que para la serie geométrica ya sabemos que su intervalo de convergencia es $(-1,1)$ . Hacer esta observación es, en efecto, más eficaz que aplicar la prueba de la proporción, que también está perfectamente bien, pero ciertamente requiere más tiempo que la simple alusión a un hecho conocido.

Pero entonces comete un error al afirmar que

Por lo tanto, el dominio de $f$ es $(−1,1)$ .

La integración o diferenciación termal de las series de potencias preserva su intervalos abiertos de convergencia pero el el comportamiento en los puntos finales puede cambiar . Así que sabiendo que la serie original (la serie geométrica en este ejemplo) converge en $(-1,1)$ , puedes NO deducimos inmediatamente que su serie integral termal converge en $(-1,1)$ también. Su intervalo de convergencia sigue siendo de $-1$ a $1$ pero aún no sabemos si los puntos finales están incluidos o no. Por eso hay que examinar ahora los puntos finales. Es sólo una afortunada coincidencia que en este ejemplo el intervalo sea de nuevo $(-1,1)$ .