Demostrar que $M$ es compacto $\Leftrightarrow$ toda función real continua positiva tiene un mínimo positivo

Question

Ya he demostrado la primera afirmación:

Si $M$ es compacto $\Rightarrow$ toda función continua positiva $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ tiene un infimo positivo.

Ahora, necesito demostrar lo contrario: Si $M$ es un espacio métrico tal que toda función continua positiva $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ tiene un infimo positivo, por lo que $M$ es compacto.

He encontrado esta pregunta aquí: $M$ es compacto si $f:M\to\mathbb{R}$ tiene un infimo positivo.

Pero quiero demostrar esto sin utilizar la pseudocompacticidad, y esta pregunta utiliza. ¿Puede alguien darme algunas pistas? Realmente no quiero la respuesta en sí.

Answer 1

Si hay una secuencia $\{x_n\}$ sin subsecuencia convergente el $E=\{x_1,x_2,\cdots\}$ es un conjunto cerrado. Definir $f:E\to (0,1) $ por $f(x_n)=\frac 1 n$ . Entonces $f$ es continua. Por (una forma del) Teorema de Extensión de Tietze existe una función continua $F:X \to (0,1)$ tal que $F=f$ en $E$ . Esta función continua no tiene un infimo positivo. [Puedo proporcionar más información sobre el Teorema de Tietze si es necesario].