Supongamos que $X$ es Banach y $N$ su subespacio cerrado, entonces $X/N$ es a su vez Banach. Ahora supongamos que tenemos una secuencia convergente $\bar{x_n}\to \bar{x_0}$ en $X/N$ ¿es posible entonces construir una secuencia $x_n\in X$ con $\|x_n\|=\|\bar x_n\|, n=0\cup\Bbb N^+$ y $x_n\to x$ ?
Por el primer requisito, $x_n$ ya están determinados de forma única, es decir, son los minimizadores únicos de $\|x\|,x\in \bar{x_n}$ . Así que debemos demostrar que $x_n$ tan definido debe converger. De hecho, la intuición geométrica me dice que $\bar{x_n}$ debe ser una colección de hiperplanos "paralelos" en $X$ y que $\|x_n-x_0\|$ debe ser exactamente la distancia entre los hiperplanos correspondientes. Pero, lamentablemente, no he podido demostrarlo. Entonces, ¿es realmente cierta mi conjetura inicial? Si es así, ¿hay alguna forma fácil de demostrarla?
Como comenta Daniel, para un espacio de Banach genérico $X$ , tal determinación única de $x_n$ puede no existir. Que los conjuntos convexos cerrados admitan siempre un minimizador de módulo único es sólo un resultado de los espacios de Hilbert (o más generalmente, de los espacios reflexivos, como en el comentario de Daniel).
De todos modos, ahora vamos a relajar un poco el primer requisito. Dejamos de lado el requisito de que $\|\bar x_n\|$ sea igual a $\|x_n\|$ sino que sólo exigimos que $\|x_n\|\le c\|\bar x_n\|$ (incluyendo $x_0$ ) para algunos $c<\infty$ y $x_n\to x_0$ en $X$ . Entonces, ¿hay una respuesta positiva a este problema más débil?
Creo que debería haber incluido algo de contexto aquí. Todo fue de lo siguiente:
$X,N$ como en el caso anterior, si $Y$ es Banach, entonces si $A$ es un operador lineal acotado de $X$ a $Y$ entonces para cada secuencia convergente $y_n\to y_0$ existe una secuencia convergente $x_n\to x_0$ tal que $Ax_n=y_n$ (incluyendo $x_0$ ) y que $\|x_n\|\le M\|y_n\|$ para algunos $M<\infty$ .
Mi enfoque fue poner todo en el espacio del cociente $X/N$ entonces el operador cociente resultante $\bar A$ es biyectiva, por lo que, si podemos recuperar $x_n\in\bar x_n$ , convergente y dominado por $\|\bar x_n\|$ , demostramos fácilmente el resultado con el Teorema del Operador Inverso.
Bien, después de pensar un rato, por fin tengo la respuesta a mi pregunta modificada. No es difícil en realidad, sólo una aplicación de la definición inf de la norma del cociente: para cada $\bar x\ne 0$ tenemos $$\|\bar x\|:=\inf_{x\in\bar x}\|x\|>0,$$ y así podemos encontrar $x'\in\bar x$ tal que $\|x'\|\le \|\bar x\|+\|\bar x\|$ (tomando $\epsilon=\|\bar x\|>0$ aquí). Entonces, para nuestra pregunta, arreglar cualquier $x_0\in\bar x_0$ , sólo sustituimos $\bar x$ con cada $\bar x_n-\bar x_0=\overline{x_n-x_0}$ y ya casi hemos terminado (cabe destacar que en este paso es crucial que la norma del cociente esté bien definida, como se menciona en la respuesta de Omnomnom).
