Suma parcial de la serie $\sum\limits_{r=1}^{\infty} \frac{1}{r(r+1)}$

Question

Un Ejercicio de la Introducción a la teoría analítica de números de Apostol que no soy capaz de resolver.

Dejemos que $\mathsf{S_{n}}$ denotan el $n$ -ésima suma parcial de la serie: $$\sum\limits_{r=1}^{\infty} \frac{1}{r(r+1)}$$

Demostrar que para cada número entero $k>1$ existe un número entero $m$ y $n$ , de tal manera que $$s_{m}-s_{n} =\frac{1}{k}$$

Answer 1

(EDIT: Mi post original tomó $p$ para ser el primo más pequeño que divide a $k$ . Esto es innecesario. Usted puede tomar $p$ para ser cualquier número distinto de 1 que divide $k$ . De este modo, no sólo se obtiene una solución, sino $d(k)-1$ soluciones, una para cada uno de los divisores de $k$ que no sea 1).

(SEGUNDA EDICIÓN: Véase la respuesta a esta pregunta para todas las soluciones en $m$ y $n$ .)

Primero, $$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}.$$ Entonces $$s_n = \sum_{r=1}^n \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}.$$

Así, para cualquier $m,n \geq 1$ , $$s_m - s_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{m+1} = \frac{m-n}{(m+1)(n+1)}.$$

Queremos encontrar $m,n$ tal que esta última expresión es igual a $\frac{1}{k}$ . Dejemos que $p$ sea cualquier número entero positivo distinto de 1 que divida a $k$ . Toma $m = (p-1)k-1$ . Claramente $m$ es un número entero positivo.

Entonces queremos demostrar que la resultante $n$ que resuelve $$\frac{m-n}{(m+1)(n+1)} = \frac{1}{k}$$ también es un número entero.

Tenemos

$$\frac{m-n}{(m+1)(n+1)} = \frac{1}{k} \Rightarrow (m-n)k = (m+1)(n+1) $$ $$\Rightarrow ((p-1)k-1 - n)k = (p-1)k(n+1) \Rightarrow (p-1)k-1 - n = (p-1)n + p-1 $$ $$\Rightarrow pn = (p-1)k - p \Rightarrow n = \frac{(p-1)k}{p} - 1,$$

lo que significa que $n$ es un número entero porque $p|k$ .

Así tenemos una familia de soluciones $$m = (p-1)k-1, n = \frac{(p-1)k}{p} - 1,$$ donde $p$ es cualquier número entero positivo distinto de 1 que divide a $k$ .

Esto funciona incluso en el caso $k = 2$ porque entonces sólo tenemos $m = 1$ , $n = 0$ .

Answer 2

Cuando haya elaborado su fórmula para $s_m-s_n,$ considere $m=(n+1)^2+n.$

Answer 3

Primero demuestre que $S_n=1-\frac{1}{n+1}$ por inducción.

Answer 4

Por fracciones parciales es telescopios a una suma que coincida con el lado derecho de esta conocida Fracción egipcia suma

$$\rm \frac{1}k\ =\ \frac{1}{k-1}\ -\ \frac{1}{k\:(k-1)}$$