Demostrando que $A\cup B$ es un elemento de $S$

Question

Dejemos que $S$ sea un conjunto tal que si $A,B\in S$ entonces $A\cap B,A\triangle B\in S,$ donde $\triangle$ denota el operador de diferencia simétrica. Me gustaría demostrar que si $S$ contiene $A$ y $B$ entonces también contiene $A\cup B, A\setminus B$ .

La diferencia era fácil de encontrar, pero no estoy teniendo éxito con la unión. Pude demostrar que cada uno de los conjuntos $$\emptyset,A\setminus B, B\setminus A,(A\cap B)\cup(A\setminus B),(A\cap B)\cup(B\setminus A),A\cup(A\triangle B),B\cup(A\triangle B),\\(A\cap B)\cup(B\setminus A)\cup(A\triangle B)$$ es un elemento de $S$ . Combinando estos podría seguir produciendo otros elementos, y probablemente acabaría encontrando $A\cup B$ . Pero ya he dedicado demasiado tiempo al problema, debe haber un enfoque más inteligente, ¿no?

Answer 1

$$A\cup B=((A \triangle B) \cap A)\triangle B$$

Answer 2

Tenga en cuenta que si $A\cap B=\varnothing$ entonces $A\cup B=A\mathbin\triangle B$ . Así que si puedes demostrar que $A\setminus B\in S$ entonces $A\cup B=(A\setminus B)\mathbin\triangle B$ .

A continuación, observe que $A\cap(A\mathbin\triangle B)=A\cap((A\setminus B)\cup(B\setminus A))=A\setminus B$ .

Answer 3

$$ \left(A\triangle B\right)\triangle\left(A\cap B\right)=A\cup B\;. $$