En primer lugar, permítanme decir que no lo hace trabajo, pero creo que es una interesante aplicación de la física a la teoría de los nudos (y aparentemente la fuente original de la integral de enlace de Gauss). Supongamos que tenemos un nudo orientado $K$ en $\mathbb{R}^3$ . Imagina que sustituyes $K$ con un hilo metálico infinitamente delgado y perfectamente conductor, y darle una corriente no nula. El campo magnético en el complemento de $K$ tiene dos propiedades interesantes: (1) el rizo del campo magnético es 0, y (2) por la ley de Ampere la integral de línea a lo largo de una curva en el complemento de $K$ del campo magnético es proporcional al número de enlace de las dos curvas (y con la elección correcta de la corriente a lo largo de $K$ , es es el número de enlace). Pensando en el campo magnético como un $1$ -forma $\tau$ en lugar de un campo vectorial, entonces se pueden calcular los números de enlace mediante la integral $\int_\gamma\tau$ . Sin embargo, $\tau$ tiene un soporte ilimitado, por lo que esto no le funciona.
La idea principal para obtener un soporte acotado es encontrar una forma que esté soportada en una vecindad de una superficie Seifert para $K$ : queremos una especie de "concentración" de la forma para que esté sólo cerca de la superficie. Parece que le interesa $K=S^1$ el círculo estándar en el $xy$ plano. Tiene una superficie Seifert que es el estándar $D^2$ en el $xy$ avión.
Una cosa que hay que pensar es que $\tau$ se supone que es un cerrado $1$ -forma. En una región simplemente conectada de $\mathbb{R}^3-S^1$ , es decir, es la derivada exterior de alguna función escalar. Piensa en cómo puedes obtener esa función escalar: eliges un punto (el "punto base") y luego, para obtener el valor de la función escalar en otro lugar, tomas la integral de línea desde el punto base hasta el punto en cuestión a lo largo de una trayectoria que se encuentra dentro de la región simplemente conectada. Si se no Si se mantiene dentro de la región simplemente conectada, sin embargo, el valor de la integral podría cambiar en una cantidad entera, dependiendo de los números de enlace. Lo que todo esto significa es que podemos pensar en $\tau$ como la derivada exterior de una función escalar $\theta$ con valores en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ (números reales hasta la suma por un entero). Llamo a esto $\theta$ porque, en cierto sentido, pretende ser como el ángulo (en revoluciones y no en radianes) que un punto dado tiene alrededor del nudo con respecto a $D^2$ .
Desde el punto de vista del campo magnético, toma $\phi$ para ser un $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ -función escalar valorada cuya derivada exterior es el campo magnético que calcula los números de enlace, donde $\phi=0$ a lo largo de $D^2$ . Sea $f(x)$ sea una función suave tal que $f(x)=0$ para $x\leq -\epsilon$ y $f(x)=1$ para $x\geq \epsilon$ con $0<\epsilon<1/2$ . Por ejemplo, la integral de una función de protuberancia, convenientemente escalada. Entonces, dejemos que $$\tau = d(f\circ\phi).$$ ¿Qué está pasando? $f$ es una reparametrización de la salida de $\phi$ para que lejos de un barrio de $D^2$ el valor del "ángulo" es constante. Esto concentra todo el comportamiento interesante de $\phi$ cerca de $D^2$ y nos da una 1 forma cerrada $\tau$ con soporte acotado. (Nota técnica: para dar sentido a $f\circ\phi$ necesitamos representar el valor de $\phi$ en un intervalo centrado en $0$ .)
Tal vez por desgracia, $\phi$ derivada de un campo magnético no puede escribirse en términos de funciones elementales. Para hacer un ejercicio, vamos a plantear otra que sea más fácil de escribir. Consideremos las esferas que contienen $S^1$ . Se trata de esferas con centro en el $z$ -y que intersecan el círculo unitario en el $xy$ -plano; incluyamos también el $xy$ -como una especie de esfera degenerada. Dado un punto en $\mathbb{R}^3-S^1$ , entonces exactamente una de estas esferas contiene ese punto. El plano tangente de la esfera en $(1,0,0)$ determina la esfera, también, y se pueden parametrizar por un vector unitario que es ortogonal a $S^1$ y puedes parametrizar los vectores unitarios por ángulos (una nota técnica: necesitas dos copias del $xy$ plano, para las dos opciones de normal de superficie, para que esto funcione realmente). Todo esto da una forma de construir un $\theta$ función. Ahorrándote los detalles, tengo $$\theta=\frac{1}{2\pi}\arctan\frac{-2z}{1-x^2-y^2-z^2}$$ con el entendimiento de que $\arctan\frac{b}{a}$ significa el ángulo del vector $(a,b)$ o, en otras palabras, el argumento del número complejo $a+bi$ . (Esta versión de arctan se conoce a veces como atan2 en los lenguajes informáticos).
Entonces, otra opción para $\tau$ es $$\tau=d(f\circ\theta).$$ Tengo que advertir que no he verificado que los signos sean correctos. Esto podría ser negativo de un número de enlace $1$ -forma.
Hay muchos otros $\tau$ formas que también funcionarían, aunque la diferencia entre dos de ellas es la derivada exterior de un $\mathbb{R}$ -función escalar valorada.
