¿Existe un espacio topológico que sea compacto en estrella pero no contable en estrella?

Question

Un espacio topológico $X$ se dice que es compacto en estrella si siempre que $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de $X$ existe un subespacio compacto $K$ de $X$ tal que $X = \operatorname{St}(K,\mathscr{U})$ .

Un espacio topológico $X$ se dice que es contable en estrella si siempre que $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de $X$ existe un subespacio contable $K$ de $X$ tal que $X = \operatorname{St}(K,\mathscr{U})$ .

Sabemos que hay algunos espacios topológicos que son contables en estrella pero no compactos en estrella. Sin embargo, no sé si estrella compacta implica estrella contable. ¿Existe un espacio topológico que sea compacto en estrella pero no contable en estrella?

Añadido: $St(K, \mathscr{U})=\cup\{u\in \mathscr{U}: u \cap K \neq \emptyset\}$

Answer 1

Dejemos que $X=\Big(\beta\omega_1\times(\omega_2+1)\Big)\setminus\Big((\beta\omega_1\setminus \omega_1)\times\{\omega_2\}\Big)$ como un subespacio de $\beta\omega_1\times(\omega_2+1)$ ; afirmo que $X$ es compacto como una estrella.

Dejemos que $\mathscr{U}$ sea una cubierta abierta de $X$ . Para cada $\xi\in\omega_1$ hay $U_\xi\in\mathscr{U}$ y $\alpha_n\in\omega_2$ tal que $$\langle \xi,\omega_2\rangle\in \{\xi\}\times(\alpha_n,\omega_2]\subseteq U_\xi\;.$$ Dejemos que $\alpha=\sup_\xi\alpha_\xi<\omega_2$ y que $K=\beta\omega_1\times\{\alpha+1\}$ ; $K$ es compacto, y $$\omega_1\times \{\omega_2\}\subseteq \operatorname{st}(K,\mathscr{U})\;,$$ desde $U_\xi\subseteq \operatorname{st}(K,\mathscr{U})$ para cada $\xi\in\omega_1$ . El espacio ordinal $\omega_2$ es contablemente compacto, por lo que $\beta\omega_1\times\omega_2$ es contablemente compacta y, por tanto, estrella finita, y existe una $F\subseteq \beta\omega_1\times\omega_2$ tal que $\beta\omega_1\times\omega_2\subseteq\operatorname{st}(F,\mathscr{U})$ . Pero entonces $K\cup F$ es compacto, y $\operatorname{st}(K\cup F,\mathscr{U})=X$ , según se desee.

Sin embargo, $X$ no es contable en estrella. Para ver esto, dejemos $$\mathscr{U}=\{\beta\omega_1\times\omega_2\}\cup\Big\{\{\xi\}\times(\omega_2+1):\xi\in\omega_1\Big\}\;;$$ $\mathscr{U}$ es ciertamente una cubierta abierta de $X$ pero si $C$ es cualquier subconjunto contable de $X$ podemos elegir $\xi\in\omega_1$ tal que $C\cap\big(\{\xi\}\times (\omega_2+1)\big)=\varnothing$ y luego $\langle \xi,\omega_2\rangle\notin\operatorname{st}(C,\mathscr{U})$ .

Esta es una modificación del ejemplo 2.1 de Yan-Kui Song, En $\mathcal{K}$ -Espacios compactos estelares , Bull. Malays. Math. Soc. (2) 30 (1) (2007), 59-64, que está disponible en PDF aquí .