Demuestra que si la matriz de transformación es unitaria, entonces la base es ortonormal

Question

V es un espacio vectorial con el campo complejo, B es una base ortonormal de V , y C es alguna base arbitraria. Demostrar que si la matriz de transformación de la base C a B es unitaria, entonces C también es una base ortonormal.

¿alguien puede orientarme?

He marcado C={v1,v2,...,vn} y quiero demostrar que si i=j entonces =1 y 0 en caso contrario pero estoy atascado.

Answer 1

Supongamos que $B = \{ w_1, w_2, . . ., w_n \}$ es una base ortonormal, y que la transformación unitaria $U$ satisface $Uv_i = w_i$ para $1 \le i \le n$ . Entonces, dado que las transformaciones unitarias preservan el producto interno (supuestamente hermitiano) $\langle \cdot, \cdot \rangle$ en $V$ tenemos $\langle v_i, v_j \rangle = \langle Uv_i, Uv_j \rangle = \langle w_i, w_j \rangle = \delta_{ij}$ . QED.

Espero que esto ayude. Saludos de temporada,

y por supuesto,

¡¡Fiat Lux!!