Divisores, extensiones de funciones

Question

Esta puede ser una pregunta tonta/obvia. Sé que tenemos el teorema de la singularidad removible (de Riemann) en la línea compleja, y también tenemos la generalización de esto a las curvas algebraicas. (A saber: si $U$ es un subconjunto abierto de una superficie de Riemann y $a\in U$ y $f \in \mathcal{O}(U-a)$ está acotada en alguna vecindad de a, entonces f puede extenderse de forma única a una función $F\in \mathcal{O}(U)$ .) En particular, si una función en una curva desaparece sobre un divisor, podemos extenderla sobre él de forma única.

¿Qué sabemos sobre la extensión de funciones sobre divisores/hiperplanos en dimensiones superiores?

Answer 1

El mismo resultado es válido en dimensiones arbitrarias: una función holomorfa localmente acotada definida en el complemento de un divisor se extiende. En muchos libros de texto (como el de Gunning) esto también se llama Teorema de la singularidad extraíble de Riemmann.

Si sabes más sobre tu divisor puedes hacerlo aún mejor. Por ejemplo, si tu ambiente es una superficie y tienes una función holomorfa definida en el complemento de una curva racional suave y compacta de auto-intersección $-1$ entonces su función se extiende a toda la superficie ya que la curva es contraíble y tras la contracción se obtiene una superficie lisa. De forma más general, las funciones holomorfas definidas sobre el complemento de los divisores compactos contractibles también pueden extenderse si, tras la contracción, se obtiene una variedad normal.

Answer 2

Hay otro teorema muy bonito: si $K \subset \mathbb{C}^n$ tiene codimensión compleja $ \geq 2$ (codimensión real $\geq 4$ ), y $f$ es una función analítica sobre $\mathbb{C}^n \setminus K$ entonces $f$ se extiende a $K$ -- ¡no hay necesidad de una hipótesis de delimitación! Creía que esto se llamaba teorema de Hartog, pero en Wikipedia no está de acuerdo .

Answer 3

Para añadir a las excelentes respuestas de jvp y David Speyer arriba:

En realidad, el teorema de Hartog es aún mejor: Dado un dominio $U\subset\mathbb{C}^{n{\geq{2}}}$ y un compacto $K\subset{U}$ tal que $U\setminus{K}$ es simplemente conectado cualquier función holomorfa sobre $U\setminus K$ se extiende holomórficamente a $U$ . Nótese que no necesitamos la condición de codimensión. En realidad es una simple consecuencia de la fórmula de Cauchy en varias variables.

Para la geometría algebraica (resp. geometría compleja) y la dimensión $\geq{2}$ : El análogo del teorema de Hartog es que cualquier función regular (resp. holomorfa) sobre el complemento de un subconjunto algebraico (resp. analítico) de codimensión al menos $2$ en una variedad algebraica(resp. analítica) normal, se extiende a toda la variedad algebraica(resp. analítica).

También me gustaría señalar la importante diferencia entre el caso afín (resp. Stein) y el caso proyectivo, como quizás aludió jvp más arriba. Si $X$ es una variedad algebraica proyectiva sobre $\mathbb{C}$ y se encuentra una función holomorfa $f$ en el complemento de un divisor $D$ entonces no podrá extender la función a todos los $X$ por mucho que se intente (!) ya que no hay funciones globales no constantes en las variedades proyectivas (afirmación similar para las varas analíticas compactas). Así que, para añadir algo a la respuesta de jvp (que puede parecer una tontería, pero que es importante, en mi opinión): su segundo párrafo debe referirse a una vecindad no proyectiva de la curva contráctil de la que habla, ya que, de lo contrario, el argumento sigue siendo cierto, ¡pero sólo vacuamente! Esto se debe a que no hay ninguna función no constante que se encuentre en una superficie proyectiva en el complemento de una curva contráctil y, por tanto, ¡no hay nada que extender!

Además, no será posible en general extender las funciones holomorfas del complemento de los divisores cuyos ejemplos se pueden construir fácilmente. Así que no hay esperanza en esta dirección sin ninguna hipótesis de acotación local.

Answer 4

No estoy seguro de entender la pregunta: la extensión es una propiedad local, así que si se puede extender en C^n se puede extender en cualquier variedad n-dimensional.